同济高数 第10章 第10-2-5题
📝 题目
5．设 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=a$ 及 $x=b(b\gt a)$ 所围成的闭区域，证明
$$
\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知区域 $D$ 是由直线 $y = x$、$y = a$ 及 $x = b$（其中 $b > a$）所围成的闭区域。
首先画出积分区域：
- $y = a$ 是水平直线，
- $x = b$ 是竖直直线，
- $y = x$ 是从左下到右上的对角线。
这三条直线围成的区域是一个三角形，其顶点为 $(a, a)$、$(b, a)$、$(b, b)$。
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第一步：分析左边积分
左边积分是：
$$
\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y
$$
这里，外层对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 积分，内层对 $y$ 从 $y = a$ 到 $y = x$。
即对于每个固定的 $x$，$y$ 从下边界 $y = a$ 到上边界 $y = x$。
这对应区域 $D$ 的 X型 表示：
$$
D = \{ (x, y) \mid a \le x \le b,\ a \le y \le x \}.
$$
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第二步：转化为Y型积分
现在我们要交换积分次序，将区域用 Y型 表示。
观察区域：
- $y$ 的范围是从 $y = a$ 到 $y = b$（因为三角形最高到 $y = b$）。
- 对于固定的 $y$，$x$ 的范围是从左边界 $x = y$（因为斜边 $y = x$）到右边界 $x = b$。
因此Y型表示为：
$$
D = \{ (x, y) \mid a \le y \le b,\ y \le x \le b \}.
$$
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第三步：写出交换次序后的积分
根据Y型表示，先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分：
$$
\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x.
$$
这正是题目右边要证明的等式。
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第四步：结论
由于 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，根据二重积分与累次积分次序无关的定理（Fubini定理），交换积分次序后积分值不变，因此原等式成立。
$$
\boxed{\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y = \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x}
$$
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难度：★☆☆☆☆
（本题仅涉及积分区域分析和交换积分次序，属于基础题型，无复杂技巧。）