同济高数 第10章 第10-3-9题
📝 题目
9．利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 及 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的闭区域；
（2） $\displaystyle{\iiint}_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由曲面 $x^{2}+y^{2}=2 z$ 及平面 $z=2$ 所围成的闭区域．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
(1) 积分区域 $\Omega$ 由 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 和 $z=x^{2}+y^{2}$ 围成。
在柱面坐标下，令
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
$$
体积元 $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$。
两曲面交线满足
$$
r^2 = z,\quad z = \sqrt{2 - r^2}.
$$
因此
$$
r^2 = \sqrt{2 - r^2} \quad\Rightarrow\quad r^4 = 2 - r^2 \quad\Rightarrow\quad r^4 + r^2 - 2 = 0.
$$
解得 $r^2 = 1$（取正根），所以 $r=1$，此时 $z=1$。
区域在 $r$ 方向从 $0$ 到 $1$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$z$ 从下曲面 $z=r^2$ 到上曲面 $z=\sqrt{2-r^2}$。
于是积分化为
$$
\displaystyle{\iiint}_{\Omega} z\,\mathrm{d}V
= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} r\,\mathrm{d}r \int_{r^2}^{\sqrt{2-r^2}} z\,\mathrm{d}z.
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{r^2}^{\sqrt{2-r^2}} z\,\mathrm{d}z
= \frac{1}{2}\left[ (2 - r^2) - r^4 \right]
= \frac{1}{2}(2 - r^2 - r^4).
$$
再对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{1} r \cdot \frac{1}{2}(2 - r^2 - r^4)\,\mathrm{d}r
= \frac12 \int_{0}^{1} (2r - r^3 - r^5)\,\mathrm{d}r
= \frac12 \left[ r^2 - \frac{r^4}{4} - \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1}
= \frac12 \left(1 - \frac14 - \frac16\right).
$$
计算括号内：
$$
1 - \frac14 - \frac16 = \frac{12}{12} - \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{7}{12}.
$$
所以结果为 $\displaystyle \frac12 \cdot \frac{7}{12} = \frac{7}{24}$。
再乘以 $\theta$ 积分 $\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta = 2\pi$，得
$$
\iiint_{\Omega} z\,\mathrm{d}V = 2\pi \cdot \frac{7}{24} = \frac{7\pi}{12}.
$$
---
(2) 区域 $\Omega$ 由 $x^2+y^2=2z$ 及平面 $z=2$ 围成。
在柱面坐标下，$x^2+y^2 = r^2$，曲面方程变为 $r^2 = 2z$，即 $\displaystyle z = \frac{r^2}{2}$。
区域在 $z$ 方向从 $\displaystyle z = \frac{r^2}{2}$ 到 $z=2$；$r$ 由 $z=2$ 代入得 $r^2=4$，所以 $r$ 从 $0$ 到 $2$；$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
被积函数 $x^2+y^2 = r^2$，体积元 $\mathrm{d}V = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z$。
积分化为
$$
\displaystyle{\iiint}_{\Omega} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V
= \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{2} r\,\mathrm{d}r \int_{r^2/2}^{2} r^2\,\mathrm{d}z.
$$
先对 $z$ 积分：
$$
\int_{r^2/2}^{2} r^2\,\mathrm{d}z = r^2 \left(2 - \frac{r^2}{2}\right) = 2r^2 - \frac{r^4}{2}.
$$
再对 $r$ 积分：
$$
\int_{0}^{2} r \left(2r^2 - \frac{r^4}{2}\right) \mathrm{d}r
= \int_{0}^{2} \left(2r^3 - \frac{r^5}{2}\right) \mathrm{d}r
= \left[ \frac{2r^4}{4} - \frac{r^6}{12} \right]_{0}^{2}
= \left[ \frac{r^4}{2} - \frac{r^6}{12} \right]_{0}^{2}.
$$
代入 $r=2$：
$$
\frac{16}{2} - \frac{64}{12} = 8 - \frac{16}{3} = \frac{24}{3} - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}.
$$
乘以 $\theta$ 积分 $2\pi$，得
$$
\iiint_{\Omega} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}.
$$
---
最终答案
(1) $\displaystyle{\frac{7\pi}{12}}$
(2) $\displaystyle{\frac{16\pi}{3}}$
难度：★★☆☆☆