同济高数 第10章 第10-4-10题

[AI解答]

[AI解答]

（1） 区域 $D=\left\{(x,y)\mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1\right\}$，面密度 $\rho=1$，求 $I_y$。

转动惯量公式：
$$
I_y = \iint_D x^2 \, d\sigma
$$
作广义极坐标变换：
$$
x = a r\cos\theta,\quad y = b r\sin\theta,\quad 0\le r\le 1,\ 0\le\theta\le 2\pi
$$
雅可比行列式：
$$
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = ab\,r
$$
于是：
$$
I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (a r\cos\theta)^2 \cdot ab\,r\,dr\,d\theta
= a^3 b \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta \int_{0}^{1} r^3\,dr
$$
计算：
$$
\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi,\quad \int_{0}^{1} r^3\,dr = \frac{1}{4}
$$
所以：
$$
I_y = a^3 b \cdot \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi a^3 b}{4}
$$

（2） 区域 $D$ 由抛物线 $y^2 = \frac{9}{2}x$ 与直线 $x=2$ 围成，面密度为1，求 $I_x$ 和 $I_y$。

先确定积分区域：抛物线顶点在原点，开口向右，与 $x=2$ 交于：
$$
y^2 = \frac{9}{2}\cdot 2 = 9 \Rightarrow y = \pm 3
$$
区域关于 $x$ 轴对称，可先对 $y$ 积分。

**求 $I_x$**：
$$
I_x = \iint_D y^2\,d\sigma = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} y^2\,dy\,dx
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} y^2\,dy = \frac{2}{3}\left(\sqrt{\frac{9}{2}x}\right)^3
= \frac{2}{3}\left(\frac{9}{2}x\right)^{3/2}
= \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{9}{2}\right)^{3/2} x^{3/2}
$$
计算系数：
$$
\left(\frac{9}{2}\right)^{3/2} = \left(\frac{9}{2}\right)\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{9}{2}\cdot\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{27}{2\sqrt{2}}
$$
乘以 $\frac{2}{3}$ 得：
$$
\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{2\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}
$$
所以：
$$
I_x = \int_{0}^{2} \frac{9}{\sqrt{2}} x^{3/2}\,dx = \frac{9}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5} x^{5/2}\Big|_{0}^{2}
= \frac{18}{5\sqrt{2}} \cdot (2^{5/2})
$$
而 $2^{5/2}=4\sqrt{2}$，故：
$$
I_x = \frac{18}{5\sqrt{2}} \cdot 4\sqrt{2} = \frac{72}{5}
$$

**求 $I_y$**：
$$
I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} x^2\,dy\,dx
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{-\sqrt{\frac{9}{2}x}}^{\sqrt{\frac{9}{2}x}} dy = 2\sqrt{\frac{9}{2}x} = 2\cdot\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{x} = 3\sqrt{2}\,x^{1/2}
$$
于是：
$$
I_y = \int_{0}^{2} x^2 \cdot 3\sqrt{2}\,x^{1/2}\,dx = 3\sqrt{2} \int_{0}^{2} x^{5/2}\,dx
= 3\sqrt{2} \cdot \frac{2}{7} x^{7/2}\Big|_{0}^{2}
= \frac{6\sqrt{2}}{7} \cdot 2^{7/2}
$$
而 $2^{7/2}=2^3\cdot\sqrt{2}=8\sqrt{2}$，所以：
$$
I_y = \frac{6\sqrt{2}}{7} \cdot 8\sqrt{2} = \frac{6\cdot 8 \cdot 2}{7} = \frac{96}{7}
$$

（3） 矩形区域 $0\le x\le a,\ 0\le y\le b$，面密度1，求 $I_x$ 和 $I_y$。

$$
I_x = \iint_D y^2\,d\sigma = \int_{0}^{a}\int_{0}^{b} y^2\,dy\,dx
= \int_{0}^{a} \left[\frac{y^3}{3}\right]_{0}^{b} dx = \int_{0}^{a} \frac{b^3}{3}\,dx = \frac{ab^3}{3}
$$

$$
I_y = \iint_D x^2\,d\sigma = \int_{0}^{b}\int_{0}^{a} x^2\,dx\,dy
= \int_{0}^{b} \frac{a^3}{3}\,dy = \frac{a^3 b}{3}
$$

最终答案：
$$
\boxed{(1)\ I_y=\frac{\pi a^3 b}{4}}\quad
\boxed{(2)\ I_x=\frac{72}{5},\ I_y=\frac{96}{7}}\quad
\boxed{(3)\ I_x=\frac{ab^3}{3},\ I_y=\frac{a^3 b}{3}}
$$

难度：★★☆☆☆