同济高数 第10章 第10-4-14题
📝 题目
14．设面密度为常量 $\mu$ 的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域 $D=\left\{(x, y, 0) \mid R_{1} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant\right. \left.R_{2}, x \geqslant 0\right\}$ ，求它对位于 $z$ 轴上点 $M_{0}(0,0, a)(a\gt 0)$ 处单位质量的质点的引力 $\boldsymbol{F}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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问题分析
半圆环形薄片位于 $xOy$ 平面，区域
$$
D = \{(x,y,0) \mid R_1 \le \sqrt{x^2+y^2} \le R_2,\; x \ge 0\}
$$
面密度为常量 $\mu$，求它对 $z$ 轴上点 $M_0(0,0,a)$ 处单位质量质点的引力 $\boldsymbol{F}$。
由对称性可知，在 $x$ 与 $y$ 方向的引力分量相互抵消，即
$$
F_x = 0,\quad F_y = 0
$$
只需计算竖直方向（$z$ 方向）的引力分量 $F_z$。
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引力公式
对于面密度 $\mu$ 的平面薄片，对点 $(0,0,a)$ 处单位质量质点的引力在 $z$ 方向的分量为
$$
F_z = G \mu \iint_D \frac{a}{(x^2+y^2+a^2)^{3/2}} \, \mathrm{d}\sigma
$$
其中 $G$ 为引力常数（计算中可保留符号）。
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采用极坐标
令
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad \mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
$$
区域 $D$ 对应
$$
R_1 \le r \le R_2,\quad -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}
$$
于是
$$
F_z = G\mu \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=R_1}^{R_2} \frac{a}{(r^2+a^2)^{3/2}} \, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta
$$
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**先对 $r$ 积分**
令 $u = r^2 + a^2$，则 $\mathrm{d}u = 2r\,\mathrm{d}r$，
$$
\int \frac{a\, r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}r
= a \int \frac{\frac12 \mathrm{d}u}{u^{3/2}}
= \frac{a}{2} \cdot (-2) u^{-1/2}
= -\frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}}
$$
因此
$$
\int_{R_1}^{R_2} \frac{a\, r}{(r^2+a^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}r
= -\frac{a}{\sqrt{R_2^2+a^2}} + \frac{a}{\sqrt{R_1^2+a^2}}
$$
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**再对 $\theta$ 积分**
$$
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm{d}\theta = \pi
$$
所以
$$
F_z = G\mu \cdot \pi \cdot a\left( \frac{1}{\sqrt{R_1^2+a^2}} - \frac{1}{\sqrt{R_2^2+a^2}} \right)
$$
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最终引力向量
$$
\boxed{\boldsymbol{F} = \left(0,\;0,\; G\mu\pi a\left( \frac{1}{\sqrt{R_1^2+a^2}} - \frac{1}{\sqrt{R_2^2+a^2}} \right) \right)}
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（思路清晰，计算步骤常规，主要考察对称性应用与极坐标下的二重积分计算）