同济高数 第10章 第10-4-6题
📝 题目
6．设平面薄片所占的闭区域 $D$ 由抛物线 $y=x^{2}$ 及直线 $y=x$ 所围成，它在点 $(x, y)$ 处的面密度 $\mu(x, y)=x^{2} y$ ，求该薄片的质心．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们要求平面薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$，已知区域 $D$ 由 $y = x^2$ 与 $y = x$ 围成，面密度 $\mu(x,y) = x^2 y$。
第一步：确定积分区域
两曲线交点为
$$
x^2 = x \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0
$$
解得 $x=0$ 或 $x=1$。
因此区域 $D$ 可表示为
$$
D = \{(x,y) \mid 0 \le x \le 1,\; x^2 \le y \le x\}.
$$
**第二步：计算质量 $M$**
质量公式
$$
M = \iint_D \mu(x,y)\,dA = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} x^2 y \,dy\,dx.
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x^2}^{x} x^2 y \,dy = x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{y=x^2}^{y=x}
= \frac{x^2}{2} \left( x^2 - (x^2)^2 \right)
= \frac{x^2}{2} (x^2 - x^4)
= \frac{1}{2}(x^4 - x^6).
$$
再对 $x$ 积分：
$$
M = \frac12 \int_{0}^{1} (x^4 - x^6)\,dx
= \frac12 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1}
= \frac12 \left( \frac15 - \frac17 \right)
= \frac12 \cdot \frac{2}{35}
= \frac{1}{35}.
$$
**第三步：计算静力矩 $M_x$ 与 $M_y$**
对 $x$ 轴的静力矩：
$$
M_x = \iint_D y\,\mu(x,y)\,dA
= \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} y \cdot x^2 y \,dy\,dx
= \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} x^2 y^2 \,dy\,dx.
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x^2}^{x} x^2 y^2 \,dy = x^2 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x}
= \frac{x^2}{3} \left( x^3 - x^6 \right)
= \frac13 (x^5 - x^8).
$$
再对 $x$ 积分：
$$
M_x = \frac13 \int_{0}^{1} (x^5 - x^8)\,dx
= \frac13 \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{x^9}{9} \right]_{0}^{1}
= \frac13 \left( \frac16 - \frac19 \right)
= \frac13 \cdot \frac{1}{18}
= \frac{1}{54}.
$$
对 $y$ 轴的静力矩：
$$
M_y = \iint_D x\,\mu(x,y)\,dA
= \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} x \cdot x^2 y \,dy\,dx
= \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} x^3 y \,dy\,dx.
$$
先对 $y$ 积分：
$$
\int_{x^2}^{x} x^3 y \,dy = x^3 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x^2}^{x}
= \frac{x^3}{2} (x^2 - x^4)
= \frac12 (x^5 - x^7).
$$
再对 $x$ 积分：
$$
M_y = \frac12 \int_{0}^{1} (x^5 - x^7)\,dx
= \frac12 \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{x^8}{8} \right]_{0}^{1}
= \frac12 \left( \frac16 - \frac18 \right)
= \frac12 \cdot \frac{1}{24}
= \frac{1}{48}.
$$
第四步：求质心坐标
$$
\bar{x} = \frac{M_y}{M} = \frac{1/48}{1/35} = \frac{35}{48},
$$
$$
\bar{y} = \frac{M_x}{M} = \frac{1/54}{1/35} = \frac{35}{54}.
$$
因此该薄片的质心为
$$
\boxed{\left( \frac{35}{48},\ \frac{35}{54} \right)}.
$$
难度：★★☆☆☆