同济高数 第10章 第10-5-5题
📝 题目
5．计算下列积分：
（1） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ；
（2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(0\lt a\lt b)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们分别计算两个积分。
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（1）
计算
$$
I = \int_{0}^{1} \frac{\arctan x}{x} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}
$$
步骤1：变量代换
令 $ x = \sin t $，则 $ t \in [0, \frac{\pi}{2}] $，
$$
\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t, \quad \sqrt{1-x^2} = \cos t
$$
于是
$$
\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = \mathrm{d}t
$$
且
$$
\frac{\arctan x}{x} = \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t}
$$
所以
$$
I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(\sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t
$$
步骤2：利用积分公式
考虑含参积分
$$
F(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(a \sin t)}{\sin t} \, \mathrm{d}t
$$
则 $ F(0)=0 $，且
$$
F'(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + a^2 \sin^2 t} \, \mathrm{d}t
$$
这是一个标准积分，结果为
$$
\int_{0}^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}t}{1 + a^2 \sin^2 t} = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}}
$$
因此
$$
F'(a) = \frac{\pi}{2\sqrt{1+a^2}}
$$
积分得
$$
F(a) = \frac{\pi}{2} \ln\left(a + \sqrt{1+a^2}\right)
$$
令 $ a = 1 $，得
$$
I = F(1) = \frac{\pi}{2} \ln(1+\sqrt{2})
$$
因此
$$
\boxed{\displaystyle \frac{\pi}{2}\ln(1+\sqrt{2})}
$$
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（2）
计算
$$
J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, \mathrm{d}x, \quad 0 < a < b
$$
步骤1：变量代换
令 $ t = -\ln x $，则 $ x = e^{-t} $，$ \mathrm{d}x = -e^{-t} \mathrm{d}t $，当 $ x:0\to 1 $ 时，$ t:\infty \to 0 $。
于是
$$
\sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) = \sin t
$$
$$
x^{b} - x^{a} = e^{-b t} - e^{-a t}
$$
$$
\ln x = -t
$$
因此
$$
\frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{-t} \cdot (-e^{-t} \mathrm{d}t) = \frac{e^{-b t} - e^{-a t}}{t} e^{-t} \mathrm{d}t
$$
注意符号：
原积分
$$
J = \int_{0}^{1} \sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \mathrm{d}x
$$
代换后，积分限变为 $ t:\infty \to 0 $，需交换上下限，得
$$
J = \int_{0}^{\infty} \sin t \cdot \frac{e^{-(a+1)t} - e^{-(b+1)t}}{t} \, \mathrm{d}t
$$
步骤2：利用Frullani型积分公式
已知公式（可视为正弦变换的Frullani型）：
$$
\int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} \left(e^{-\alpha t} - e^{-\beta t}\right) \mathrm{d}t = \arctan\frac{1}{\alpha} - \arctan\frac{1}{\beta}, \quad \alpha,\beta > 0
$$
这里 $\alpha = a+1$，$\beta = b+1$，所以
$$
J = \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1}
$$
也可写作
$$
J = \arctan\left( \frac{b-a}{(a+1)(b+1)+1} \right)
$$
但最简形式为
$$
\boxed{\displaystyle \arctan\frac{1}{a+1} - \arctan\frac{1}{b+1}}
$$
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难度评级：★★★★☆
两个积分均需巧妙的变量代换与含参积分或特殊积分公式，技巧性较强。