同济高数 第11章 第11-1-1题
📝 题目
1．设在 $x O y$ 面内有一分布着质量的曲线弧 $L$ ，在点 $(x, y)$ 处它的线密度为 $\mu(x, y)$ ．用对弧长的曲线积分分别表达：
（1）这曲线弧对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量 $I_{x}, I_{y}$ ；
（2）这曲线弧的质心坐标 $\bar{x}, \bar{y}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1）曲线弧对坐标轴的转动惯量
对于分布在曲线弧 $L$ 上的质量，线密度为 $\mu(x,y)$，则质量微元为
$$
dm = \mu(x,y)\, ds
$$
其中 $ds$ 为弧长微元。
对 $x$ 轴的转动惯量定义为各质量微元到 $x$ 轴距离的平方乘以质量微元之和，而点到 $x$ 轴的距离为 $|y|$，因此
$$
I_x = \int_L y^2 \, dm = \int_L y^2 \mu(x,y)\, ds
$$
同理，对 $y$ 轴的转动惯量为
$$
I_y = \int_L x^2 \, dm = \int_L x^2 \mu(x,y)\, ds
$$
（2）曲线弧的质心坐标
质心坐标公式为
$$
\bar{x} = \frac{\displaystyle\int_L x\, dm}{\displaystyle\int_L dm}, \quad
\bar{y} = \frac{\displaystyle\int_L y\, dm}{\displaystyle\int_L dm}
$$
将 $dm = \mu(x,y)\, ds$ 代入得
$$
\bar{x} = \frac{\displaystyle\int_L x\,\mu(x,y)\, ds}{\displaystyle\int_L \mu(x,y)\, ds}, \quad
\bar{y} = \frac{\displaystyle\int_L y\,\mu(x,y)\, ds}{\displaystyle\int_L \mu(x,y)\, ds}
$$
难度：★☆☆☆☆