同济高数 第11章 第11-2-5题
📝 题目
5．一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 所构成。试求当一质量为 $m$ 的质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ 按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑一力场由沿横轴正方向的恒力 $F$ 构成，即力向量为
$$
\mathbf{F} = (F, 0)
$$
其中 $F$ 是常数。质点沿圆周 $x^2 + y^2 = R^2$ 在第一象限逆时针移动，即从点 $(R,0)$ 到点 $(0,R)$。
功的计算公式为
$$
W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}
$$
其中 $C$ 是运动路径。将路径参数化：取参数 $t$ 为角度，令
$$
x = R\cos t,\quad y = R\sin t,\quad t: 0 \to \frac{\pi}{2}
$$
于是
$$
d\mathbf{r} = (-R\sin t\, dt,\; R\cos t\, dt)
$$
力向量为
$$
\mathbf{F} = (F, 0)
$$
点积为
$$
\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = F \cdot (-R\sin t\, dt) + 0 \cdot (R\cos t\, dt) = -FR\sin t\, dt
$$
因此功为
$$
W = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-FR\sin t)\, dt
= -FR \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t\, dt
$$
计算积分：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t\, dt = \left[-\cos t\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (0) - (-1) = 1
$$
所以
$$
W = -FR \cdot 1 = -FR
$$
负号表示场力方向与质点运动方向在水平分量上相反，即场力做负功。若只问做功大小，则结果为 $FR$，但按物理定义，功为 $-FR$。
因此，场力所做的功为
$$
\boxed{-FR}
$$
难度：★★☆☆☆