同济高数 第11章 第11-3-*11题
📝 题目
＊11．判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解．
（1）$\left(3 x^{2}+6 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(6 x^{2} y+4 y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$ ；
（2）$\left(a^{2}-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x-(x+y)^{2} \mathrm{~d} y=0$（ $a$ 为常数）；
（3） $\mathrm{e}^{y} \mathrm{~d} x+\left(x \mathrm{e}^{y}-2 y\right) \mathrm{d} y=0$ ；
（4）$(x \cos y+\cos x) y^{\prime}-y \sin x+\sin y=0$ ；
（5）$\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ ；
（6）$y(x-2 y) \mathrm{d} x-x^{2} \mathrm{~d} y=0$ ；
（7）$\left(1+\mathrm{e}^{2 \theta}\right) \mathrm{d} \rho+2 \rho \mathrm{e}^{2 \theta} \mathrm{~d} \theta=0$ ；
（8）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x+x y \mathrm{~d} y=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下依次判断每个方程是否为全微分方程，若是则求通解。
（1）
方程：
$$
(3x^2+6xy^2)dx+(6x^2y+4y^2)dy=0
$$
设
$$
P(x,y)=3x^2+6xy^2,\quad Q(x,y)=6x^2y+4y^2
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=12xy,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=12xy
$$
二者相等，故为全微分方程。
求原函数 $u(x,y)$：
$$
u(x,y)=\int P\,dx = \int (3x^2+6xy^2)\,dx = x^3+3x^2y^2+\phi(y)
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=6x^2y+\phi'(y)
$$
应与 $Q$ 相等：
$$
6x^2y+\phi'(y)=6x^2y+4y^2 \Rightarrow \phi'(y)=4y^2 \Rightarrow \phi(y)=\frac{4}{3}y^3
$$
因此通解为
$$
x^3+3x^2y^2+\frac{4}{3}y^3=C
$$
（2）
方程：
$$
(a^2-2xy-y^2)dx-(x+y)^2dy=0
$$
这里
$$
P=a^2-2xy-y^2,\quad Q=-(x+y)^2
$$
计算：
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=-2x-2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2(x+y)
$$
相等，故为全微分方程。
求原函数：
$$
u=\int P\,dx = a^2x - x^2y - xy^2 + \phi(y)
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=-x^2-2xy+\phi'(y)
$$
令其等于 $Q=-(x^2+2xy+y^2)$：
$$
-x^2-2xy+\phi'(y) = -x^2-2xy-y^2 \Rightarrow \phi'(y)=-y^2 \Rightarrow \phi(y)=-\frac{y^3}{3}
$$
通解：
$$
a^2x - x^2y - xy^2 - \frac{y^3}{3}=C
$$
（3）
方程：
$$
e^y dx + (xe^y-2y)dy=0
$$
$$
P=e^y,\quad Q=xe^y-2y
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=e^y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^y
$$
相等，为全微分方程。
求原函数：
$$
u=\int P\,dx = xe^y+\phi(y)
$$
对 $y$ 求导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=xe^y+\phi'(y)=xe^y-2y \Rightarrow \phi'(y)=-2y \Rightarrow \phi(y)=-y^2
$$
通解：
$$
xe^y - y^2 = C
$$
（4）
方程：
$$
(x\cos y+\cos x)y' - y\sin x+\sin y=0
$$
改写为：
$$
(-y\sin x+\sin y)dx + (x\cos y+\cos x)dy=0
$$
$$
P=-y\sin x+\sin y,\quad Q=x\cos y+\cos x
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=-\sin x+\cos y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\cos y-\sin x
$$
相等，为全微分方程。
求原函数：
$$
u=\int P\,dx = y\cos x + x\sin y + \phi(y)
$$
对 $y$ 求导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=\cos x + x\cos y + \phi'(y)
$$
令其等于 $Q=x\cos y+\cos x$，得 $\phi'(y)=0$，故 $\phi(y)=C$。
通解：
$$
y\cos x + x\sin y = C
$$
（5）
方程：
$$
(x^2-y)dx - x\,dy=0
$$
$$
P=x^2-y,\quad Q=-x
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=-1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-1
$$
相等，为全微分方程。
求原函数：
$$
u=\int P\,dx = \frac{x^3}{3} - xy + \phi(y)
$$
对 $y$ 求导：
$$
\frac{\partial u}{\partial y}=-x+\phi'(y) = -x \Rightarrow \phi'(y)=0
$$
通解：
$$
\frac{x^3}{3} - xy = C
$$
（6）
方程：
$$
y(x-2y)dx - x^2 dy=0
$$
$$
P=xy-2y^2,\quad Q=-x^2
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=x-4y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=-2x
$$
不相等，故不是全微分方程。
（7）
方程：
$$
(1+e^{2\theta})d\rho + 2\rho e^{2\theta}d\theta=0
$$
$$
P=1+e^{2\theta},\quad Q=2\rho e^{2\theta}
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial \theta}=2e^{2\theta},\quad \frac{\partial Q}{\partial \rho}=2e^{2\theta}
$$
相等，为全微分方程。
求原函数：
$$
u=\int P\,d\rho = \rho(1+e^{2\theta})+\phi(\theta)
$$
对 $\theta$ 求导：
$$
\frac{\partial u}{\partial \theta}= \rho\cdot 2e^{2\theta}+\phi'(\theta)=2\rho e^{2\theta}+\phi'(\theta)
$$
令其等于 $Q=2\rho e^{2\theta}$，得 $\phi'(\theta)=0$。
通解：
$$
\rho(1+e^{2\theta})=C
$$
（8）
方程：
$$
(x^2+y^2)dx + xy\,dy=0
$$
$$
P=x^2+y^2,\quad Q=xy
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=y
$$
不相等，故不是全微分方程。
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考查全微分条件的判断与简单积分，计算量不大，但需细心。）