同济高数 第11章 第11-6-*2题

[AI解答]

[AI解答]

（1）
向量场
$$
\boldsymbol{A}=y z\,\boldsymbol{i}+x z\,\boldsymbol{j}+x y\,\boldsymbol{k}
$$
穿过圆柱面 $x^2+y^2 \le a^2,\;0\le z\le h$ 的全表面外侧的通量。

使用高斯散度定理：
$$
\Phi = \iiint_{V} \nabla\cdot\boldsymbol{A}\,dV
$$
先计算散度：
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(yz) + \frac{\partial}{\partial y}(xz) + \frac{\partial}{\partial z}(xy) = 0+0+0 = 0
$$
因此
$$
\Phi = \iiint_{V} 0\,dV = 0
$$

（2）
向量场
$$
\boldsymbol{A} = (2x - z)\,\boldsymbol{i} + x^{2}y\,\boldsymbol{j} - x z^{2}\,\boldsymbol{k}
$$
穿过立方体 $0\le x\le a,\;0\le y\le a,\;0\le z\le a$ 全表面外侧的通量。

计算散度：
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(2x - z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) + \frac{\partial}{\partial z}(-x z^{2})
$$
$$
= 2 + x^{2} - 2xz
$$
由高斯散度定理：
$$
\Phi = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\int_{0}^{a} (2 + x^{2} - 2xz)\,dx\,dy\,dz
$$
先对 $x$ 积分：
$$
\int_{0}^{a} (2 + x^{2} - 2xz)\,dx = \left[2x + \frac{x^{3}}{3} - x^{2}z\right]_{0}^{a} = 2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z
$$
再对 $y$ 积分（被积函数与 $y$ 无关，乘以 $a$）：
$$
\int_{0}^{a} \left(2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z\right) dy = a\left(2a + \frac{a^{3}}{3} - a^{2}z\right)
$$
最后对 $z$ 积分：
$$
\Phi = \int_{0}^{a} \left(2a^{2} + \frac{a^{4}}{3} - a^{3}z\right) dz
= \left[2a^{2}z + \frac{a^{4}}{3}z - \frac{a^{3}z^{2}}{2}\right]_{0}^{a}
$$
$$
= 2a^{3} + \frac{a^{5}}{3} - \frac{a^{5}}{2}
= 2a^{3} - \frac{a^{5}}{6}
$$

（3）
向量场
$$
\boldsymbol{A} = (2x+3z)\,\boldsymbol{i} - (xz+y)\,\boldsymbol{j} + (y^{2}+2z)\,\boldsymbol{k}
$$
穿过球心 $(3,-1,2)$、半径 $R=3$ 的球面外侧的通量。

计算散度：
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{A} = \frac{\partial}{\partial x}(2x+3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-xz - y) + \frac{\partial}{\partial z}(y^{2}+2z)
$$
$$
= 2 + (-1) + 2 = 3
$$
由高斯散度定理，通量等于
$$
\Phi = \iiint_{V} 3\,dV = 3 \cdot \text{球的体积}
$$
球的体积为
$$
V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi
$$
因此
$$
\Phi = 3 \times 36\pi = 108\pi
$$

最终答案：
（1）$0$
（2）$\displaystyle 2a^{3} - \frac{a^{5}}{6}$
（3）$108\pi$

难度：★★☆☆☆