同济高数 第11章 第11-6-*3题
📝 题目
＊3．求下列向量场 $\boldsymbol{A}$ 的散度：
（1） $\boldsymbol{A}=\left(x^{2}+y z\right) \boldsymbol{i}+\left(y^{2}+x z\right) \boldsymbol{j}+\left(z^{2}+x y\right) \boldsymbol{k}$ ；
（2）$A=\mathrm{e}^{x y} i+\cos (x y) j+\cos \left(x z^{2}\right) k$ ；
（3）$A=y^{2} i+x y j+x z k$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1）
向量场
$$
\boldsymbol{A} = (x^{2}+yz)\boldsymbol{i} + (y^{2}+xz)\boldsymbol{j} + (z^{2}+xy)\boldsymbol{k}
$$
散度公式为
$$
\operatorname{div}\boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}
$$
其中
$$
P = x^{2}+yz,\quad Q = y^{2}+xz,\quad R = z^{2}+xy
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 2x,\quad
\frac{\partial Q}{\partial y} = 2y,\quad
\frac{\partial R}{\partial z} = 2z
$$
因此
$$
\operatorname{div}\boldsymbol{A} = 2x + 2y + 2z = 2(x+y+z)
$$
（2）
向量场
$$
\boldsymbol{A} = e^{xy}\boldsymbol{i} + \cos(xy)\boldsymbol{j} + \cos(xz^{2})\boldsymbol{k}
$$
令
$$
P = e^{xy},\quad Q = \cos(xy),\quad R = \cos(xz^{2})
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = y e^{xy}
$$
$$
\frac{\partial Q}{\partial y} = -x \sin(xy)
$$
$$
\frac{\partial R}{\partial z} = -2xz \sin(xz^{2})
$$
因此
$$
\operatorname{div}\boldsymbol{A} = y e^{xy} - x \sin(xy) - 2xz \sin(xz^{2})
$$
（3）
向量场
$$
\boldsymbol{A} = y^{2}\boldsymbol{i} + xy\boldsymbol{j} + xz\boldsymbol{k}
$$
令
$$
P = y^{2},\quad Q = xy,\quad R = xz
$$
计算偏导数：
$$
\frac{\partial P}{\partial x} = 0,\quad
\frac{\partial Q}{\partial y} = x,\quad
\frac{\partial R}{\partial z} = x
$$
因此
$$
\operatorname{div}\boldsymbol{A} = 0 + x + x = 2x
$$
最终答案：
（1）$\displaystyle \operatorname{div}\boldsymbol{A} = 2(x+y+z)$
（2）$\displaystyle \operatorname{div}\boldsymbol{A} = y e^{xy} - x \sin(xy) - 2xz \sin(xz^{2})$
（3）$\displaystyle \operatorname{div}\boldsymbol{A} = 2x$
难度：★☆☆☆☆