同济高数 第12章 第12-1-3题
📝 题目
3．设级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 满足条件：（1） $\displaystyle{\lim} _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ；
（2）$\displaystyle{\sum}_{k=1}^{\infty}\left(u_{2 k-1}+u_{2 k}\right)$ 收敛．证明：级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 满足两个条件：
(1) $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} u_n = 0}$；
(2) 由奇数项与偶数项两两合并得到的级数 $\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} (u_{2k-1} + u_{2k})}$ 收敛。
要证明原级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 收敛。
证明步骤：
记部分和
$$
S_N = \sum_{n=1}^{N} u_n
$$
考虑偶数项部分和 $S_{2m}$，它可以写成
$$
S_{2m} = \sum_{k=1}^{m} (u_{2k-1} + u_{2k})
$$
由条件(2)，当 $m \to \infty$ 时，$\displaystyle{\sum_{k=1}^{m} (u_{2k-1} + u_{2k})}$ 收敛于某个数 $A$，即
$$
\lim_{m \to \infty} S_{2m} = A
$$
现在考虑奇数项部分和 $S_{2m+1}$：
$$
S_{2m+1} = S_{2m} + u_{2m+1}
$$
由条件(1)，$\displaystyle{\lim_{m \to \infty} u_{2m+1} = 0}$，因此
$$
\lim_{m \to \infty} S_{2m+1} = \lim_{m \to \infty} S_{2m} + \lim_{m \to \infty} u_{2m+1} = A + 0 = A
$$
于是，部分和数列的子列 $\{S_{2m}\}$ 与 $\{S_{2m+1}\}$ 均收敛到同一极限 $A$。
对于任意正整数 $N$，总存在某个 $m$ 使得 $2m \le N \le 2m+1$，且
$$
S_{2m} \le S_N \le S_{2m+1} \quad \text{或} \quad S_{2m+1} \le S_N \le S_{2m}
$$
由于两个子列都趋于 $A$，由夹逼原理可知 $\displaystyle{\lim_{N \to \infty} S_N = A}$。
因此原级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} u_n}$ 收敛。
难度评级：★★☆☆☆
（思路清晰，只需利用部分和子列收敛及通项趋于零即可完成证明，属于基础级数收敛性证明题。）