同济高数 第12章 第12-1-*5题

[AI解答]

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（1） 判断级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 的收敛性。

柯西审敛原理：级数收敛当且仅当对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $m>n>N$ 时，
$$
\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon.
$$

对于交错调和级数，取 $m=2p,\ n=2p-1$，则
$$
\left| \sum_{k=2p-1}^{2p} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right| = \left| \frac{1}{2p-1} - \frac{1}{2p} \right| = \frac{1}{(2p-1)(2p)} \to 0.
$$
但还需考虑任意间隔。实际上，对于任意 $n$，取 $m=2n$，则
$$
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
$$
的绝对值不小于第 $n+1$ 项绝对值减去后续项和，但更直接的方法：该级数由莱布尼茨判别法知条件收敛，但柯西原理要求任意两下标差充分大时部分和差任意小。对于调和型交错级数，取 $m=2n,\ n$ 足够大，有
$$
\left| \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right| \approx \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \approx \ln 2,
$$
不趋于 0，故不满足柯西条件，因此发散？但已知该级数收敛，这里需注意：交错调和级数收敛，但部分和差并不对任意 $m>n$ 都小，例如取 $n$ 为偶数，$m$ 为奇数时，差可能较大。实际上，柯西原理要求对任意 $m>n>N$ 成立，而不仅仅是特定间隔。对于交错调和级数，取 $m=2n$，$n$ 为偶数，则
$$
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{n+j+1}}{n+j}.
$$
当 $n$ 为偶数时，首项为正，近似为 $\sum_{j=1}^n \frac{1}{n+j} \approx \ln 2$，不趋于 0。因此该级数不满足柯西条件，但已知它收敛，矛盾？实际上，柯西条件是充要的，所以这里说明交错调和级数收敛，但柯西条件必须对所有 $m>n$ 成立，而上述反例表明存在 $m>n$ 使差大于常数，因此该级数实际上不满足柯西条件？但已知它收敛，所以问题出在：交错调和级数收敛，但取 $m=2n$ 时部分和差确实趋于 0？计算：
$$
\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}
$$
当 $n$ 为偶数时，$n+1$ 为奇数，项为正，序列为 $+,-,+,-,\dots$，其和并不趋于 $\ln 2$，因为正负交替会抵消。实际上，该和是交错和，其绝对值小于等于第一项 $\frac{1}{n+1}$，故趋于 0。因此之前的近似错误。正确估计：
$$
\left| \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{(-1)^{k+1}}{k} \right| \le \frac{1}{n+1} \to 0.
$$
所以该级数满足柯西条件，收敛。

结论：收敛（条件收敛）。

（2） 级数
$$
1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots
$$
即每三项一组：$\frac{1}{3n-2}+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n}$。

考虑部分和 $S_{3n}$：
$$
S_{3n} = \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3k-2}+\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k} \right).
$$
比较通项：
$$
\frac{1}{3k-2}+\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k} > \frac{1}{3k}+\frac{1}{3k}-\frac{1}{3k} = \frac{1}{3k},
$$
故 $S_{3n} > \sum_{k=1}^n \frac{1}{3k} = \frac{1}{3} H_n \to \infty$，所以级数发散。

（3） $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$。

对任意 $m>n$，
$$
\left| \sum_{k=n+1}^m \frac{\sin kx}{2^k} \right| \le \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{2^k} < \frac{1}{2^n}.
$$
给定 $\varepsilon>0$，取 $N > -\log_2 \varepsilon$，则当 $n>N$ 时，对任意 $m>n$ 有
$$
\left| \sum_{k=n+1}^m \frac{\sin kx}{2^k} \right| < \varepsilon.
$$
由柯西审敛原理，级数收敛（绝对收敛）。

（4） $\displaystyle{\sum}_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3 n+1}+\frac{1}{3 n+2}-\frac{1}{3 n+3}\right)$。

通项：
$$
a_n = \frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{1}{3n+3}.
$$
比较：
$$
\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2} > \frac{2}{3n+3},
$$
故
$$
a_n > \frac{2}{3n+3} - \frac{1}{3n+3} = \frac{1}{3n+3} = \frac{1}{3(n+1)}.
$$
因此 $\sum a_n$ 发散（与调和级数比较）。

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难度评级：★★★☆☆