同济高数 第12章 第12-4-1题
📝 题目
1．求函数 $f(x)=\cos x$ 的泰勒级数，并验证它在整个数轴上收敛于这函数．
💡 答案解析
[AI解答]
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**1. 求函数 $ f(x) = \cos x $ 的泰勒级数**
函数 $ f(x) = \cos x $ 在 $ x = 0 $ 处的泰勒展开公式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
$$
先计算各阶导数在 $ x = 0 $ 处的值：
$$
\begin{aligned}
f(x) &= \cos x, & f(0) &= 1, \\
f'(x) &= -\sin x, & f'(0) &= 0, \\
f''(x) &= -\cos x, & f''(0) &= -1, \\
f'''(x) &= \sin x, & f'''(0) &= 0, \\
f^{(4)}(x) &= \cos x, & f^{(4)}(0) &= 1, \\
\end{aligned}
$$
可见导数呈现周期性，规律为：
$$
f^{(n)}(0) =
\begin{cases}
(-1)^{k}, & n = 2k, \\
0, & n = 2k+1.
\end{cases}
$$
因此，泰勒级数只包含偶次项：
$$
\cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}
$$
即：
$$
\boxed{\cos x = \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}}
$$
---
**2. 验证它在整个数轴上收敛于 $\cos x$**
考虑余项（拉格朗日余项形式）：
对于任意实数 $x$，存在介于 $0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使得
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1}
$$
由于 $\cos x$ 和 $\sin x$ 的任意阶导数绝对值不超过 1，即
$$
|f^{(n+1)}(\xi)| \le 1
$$
因此：
$$
|R_n(x)| \le \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
$$
对任意固定的 $x$，当 $n \to \infty$ 时，有
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} = 0
$$
这是因为阶乘的增长速度远大于指数函数。因此：
$$
\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0
$$
这说明泰勒级数在任意实数 $x$ 处都收敛到 $\cos x$，即在整个数轴上收敛。
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难度评级：★★☆☆☆