同济高数 第12章 第12-4-5题
📝 题目
5．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求将函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 展开成关于 $ (x-3) $ 的幂级数，即展开成形式
$$
\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-3)^n
$$
这本质上是在 $ x=3 $ 处作泰勒展开。
第一步：改写函数形式
将 $ \frac{1}{x} $ 写成便于展开的形式：
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + (x-3)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x-3}{3}}
$$
第二步：利用几何级数公式
已知当 $ |t| < 1 $ 时，有
$$
\frac{1}{1+t} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^n
$$
这里令 $ t = \frac{x-3}{3} $，则当 $ \left| \frac{x-3}{3} \right| < 1 $，即 $ |x-3| < 3 $ 时，
$$
\frac{1}{1 + \frac{x-3}{3}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{x-3}{3} \right)^n
$$
第三步：乘以系数
于是
$$
\frac{1}{x} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left( \frac{x-3}{3} \right)^n
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (x-3)^n
$$
第四步：写出收敛区间
该级数在 $ |x-3| < 3 $ 即 $ 0 < x < 6 $ 内收敛，在端点处需要单独判断：
- 当 $ x=0 $ 时，原函数无定义，故级数不可能收敛到函数值；
- 当 $ x=6 $ 时，级数成为 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3} $，发散。
因此收敛区间为 $ 0 < x < 6 $。
最终结果
$$
\boxed{\frac{1}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3^{n+1}} (x-3)^n,\quad 0 < x < 6}
$$
难度：★☆☆☆☆
（直接利用几何级数公式，步骤简单，属于基础题）