同济高数 第12章 第12-4-6题
📝 题目
6．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 展开成 $(x+4)$ 的幂级数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们先将函数分解为部分分式，再将其展开为关于 $(x+4)$ 的幂级数。
第一步：分解为部分分式
由于
$$
x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)
$$
设
$$
\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2}
$$
解得 $A = 1,\ B = -1$，因此
$$
f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}.
$$
**第二步：改写为 $(x+4)$ 的形式**
我们希望展开成 $(x+4)$ 的幂级数，因此将分母改写为
$$
x+1 = (x+4) - 3,\quad x+2 = (x+4) - 2.
$$
于是
$$
\frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x+4)-3} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x+4}{3}},
$$
$$
\frac{1}{x+2} = \frac{1}{(x+4)-2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x+4}{2}}.
$$
第三步：展开为幂级数
利用公式 $\displaystyle \frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty} t^n$，当 $|t|<1$ 时成立。
对于第一项：
$$
\frac{1}{x+1} = -\frac{1}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x+4}{3} \right)^n
= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{3^{n+1}},
$$
收敛域为 $|x+4| < 3$。
对于第二项：
$$
\frac{1}{x+2} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x+4}{2} \right)^n
= -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{2^{n+1}},
$$
收敛域为 $|x+4| < 2$。
第四步：合并结果
因此
$$
f(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}
= \left( -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{3^{n+1}} \right) - \left( -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+4)^n}{2^{n+1}} \right)
$$
$$
= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}} \right) (x+4)^n.
$$
收敛域取两个级数收敛域的交集，即 $|x+4| < 2$。
最终答案
$$
\boxed{f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{n+1}} - \frac{1}{3^{n+1}} \right) (x+4)^n,\quad |x+4|<2}
$$
难度：★★☆☆☆