同济高数 第12章 第12-6-3题

[AI解答]

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（1） 考察级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}, \quad x\in(-\infty,+\infty).
$$

步骤1：求部分和
记
$$
S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{k}}.
$$
这是公比为 $q = -\frac{1}{1+x^{2}}$ 的等比级数（首项为 $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$），所以
$$
S_n(x) = \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}}{1 + \frac{1}{1+x^{2}}}.
$$
化简分母：
$$
1 + \frac{1}{1+x^{2}} = \frac{1+x^{2}+1}{1+x^{2}} = \frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}.
$$
因此
$$
S_n(x) = \frac{x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \frac{1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}}{\frac{x^{2}+2}{1+x^{2}}} = \frac{x^{2}}{x^{2}+2}\left[1 - \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}\right].
$$

步骤2：求极限函数
当 $n\to\infty$，由于 $1+x^{2} \ge 1$，有
$$
\left|\frac{1}{1+x^{2}}\right| \le 1,
$$
但注意当 $x=0$ 时，$\frac{1}{1+0}=1$，此时 $(-1)^{n-1}$ 振荡，不过 $x=0$ 时每一项为0，所以级数和为0。
对于 $x\neq 0$，有 $1+x^{2}>1$，故 $\left|\frac{1}{1+x^{2}}\right|<1$，从而
$$
\lim_{n\to\infty} \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n} = 0.
$$
所以极限函数为
$$
S(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}+2}, \quad x\in(-\infty,+\infty).
$$
（当 $x=0$ 时，上式也给出0，一致。）

步骤3：讨论一致收敛性
余项为
$$
R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \frac{x^{2}}{x^{2}+2} \left(-\frac{1}{1+x^{2}}\right)^{n}.
$$
其绝对值为
$$
|R_n(x)| = \frac{x^{2}}{x^{2}+2} \cdot \frac{1}{(1+x^{2})^{n}}.
$$
考虑函数
$$
f_n(x) = \frac{x^{2}}{(x^{2}+2)(1+x^{2})^{n}}.
$$
当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$。当 $x\neq 0$，令 $t=x^{2}\ge 0$，则
$$
g_n(t) = \frac{t}{(t+2)(1+t)^{n}}.
$$
求最大值：对 $t>0$，
$$
g_n'(t) = \frac{(t+2)(1+t)^{n} - t[(1+t)^{n} + n(t+2)(1+t)^{n-1}]}{(t+2)^{2}(1+t)^{2n}}.
$$
分子提取 $(1+t)^{n-1}$ 后化简为
$$
(1+t)^{n-1}\left[(t+2)(1+t) - t(1+t) - n t(t+2)\right] = (1+t)^{n-1}\left[2(1+t) - n t(t+2)\right].
$$
令导数为0得
$$
2(1+t) - n t(t+2)=0 \quad\Rightarrow\quad n t^{2}+2n t -2t -2=0.
$$
即
$$
n t^{2} + (2n-2)t -2 =0.
$$
解得正根
$$
t_n = \frac{-(2n-2) + \sqrt{(2n-2)^{2}+8n}}{2n}.
$$
当 $n$ 很大时，近似 $t_n \sim \sqrt{\frac{2}{n}}$，代入得
$$
g_n(t_n) \approx \frac{\sqrt{2/n}}{2 \cdot 1^{n}} = \frac{1}{\sqrt{2n}} \to 0.
$$
因此
$$
\sup_{x\in\mathbb{R}} |R_n(x)| \to 0 \quad (n\to\infty).
$$
故级数在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。

（2） 考察级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} (1-x)x^{n}, \quad x\in(0,1).
$$

步骤1：求部分和
这是公比为 $x$ 的等比级数（首项为 $1-x$），所以
$$
S_n(x) = (1-x)\frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1 - x^{n+1}.
$$

步骤2：极限函数
当 $0$$
S(x) = 1.
$$
但注意在 $x=0$ 处级数给出 $1$，在 $x=1$ 处级数为0，但区间是开区间 $(0,1)$，端点不考虑。

步骤3：讨论一致收敛性
余项为
$$
R_n(x) = 1 - (1 - x^{n+1}) = x^{n+1}.
$$
在区间 $(0,1)$ 上，
$$
\sup_{x\in(0,1)} |R_n(x)| = \sup_{x\in(0,1)} x^{n+1} = 1 \quad (\text{当 }x\to 1^{-}) .
$$
它不趋于0，因此级数在 $(0,1)$ 上不一致收敛。

答案
（1）一致收敛；
（2）不一致收敛。

难度评级：★★★☆☆