同济高数 第8章 第8-1-13题
📝 题目
13．在 $y O z$ 面上，求与三点 $A(3,1,2), B(4,-2,-2)$ 和 $C(0,5,1)$ 等距离的点．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设所求点为 $P(0, y, z)$，因为它位于 $yOz$ 平面上，所以横坐标 $x=0$。
由题意，点 $P$ 到 $A, B, C$ 三点的距离相等，即
$$
|PA| = |PB| = |PC|.
$$
先计算各距离平方：
$$
|PA|^2 = (0-3)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 9 + (y-1)^2 + (z-2)^2,
$$
$$
|PB|^2 = (0-4)^2 + (y+2)^2 + (z+2)^2 = 16 + (y+2)^2 + (z+2)^2,
$$
$$
|PC|^2 = (0-0)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2 = (y-5)^2 + (z-1)^2.
$$
由 $|PA|^2 = |PB|^2$ 得：
$$
9 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 16 + (y+2)^2 + (z+2)^2.
$$
展开平方项：
$$
(y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) + 9 = (y^2 + 4y + 4) + (z^2 + 4z + 4) + 16.
$$
化简：
$$
y^2 + z^2 - 2y - 4z + 14 = y^2 + z^2 + 4y + 4z + 24.
$$
消去 $y^2+z^2$，得：
$$
-2y - 4z + 14 = 4y + 4z + 24,
$$
移项：
$$
-6y - 8z = 10 \quad \Rightarrow \quad 3y + 4z = -5. \tag{1}
$$
再由 $|PA|^2 = |PC|^2$ 得：
$$
9 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = (y-5)^2 + (z-1)^2.
$$
展开：
$$
9 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) = (y^2 - 10y + 25) + (z^2 - 2z + 1).
$$
左边：
$$
y^2 + z^2 - 2y - 4z + 14,
$$
右边：
$$
y^2 + z^2 - 10y - 2z + 26.
$$
消去 $y^2+z^2$：
$$
-2y - 4z + 14 = -10y - 2z + 26,
$$
移项：
$$
8y - 2z = 12 \quad \Rightarrow \quad 4y - z = 6. \tag{2}
$$
解方程组：
$$
\begin{cases}
3y + 4z = -5,\\
4y - z = 6.
\end{cases}
$$
由(2)得 $z = 4y - 6$，代入(1)：
$$
3y + 4(4y - 6) = -5 \quad\Rightarrow\quad 3y + 16y - 24 = -5,
$$
$$
19y = 19 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
$$
代入 $z = 4(1)-6 = -2$。
因此所求点为：
$$
\boxed{(0,1,-2)}.
$$
难度评级：★★☆☆☆
（涉及空间距离公式与二元一次方程组，计算量小，思路直接）