同济高数 第8章 第8-1-19题
📝 题目
19．设 $m=3 i+5 j+8 k, n=2 i-4 j-7 k$ 和 $p=5 i+j-4 k$ ，求向量 $a=4 m+3 n-p$ 在 $x$ 轴上的投影及在 $y$ 轴上的分向量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
首先写出已知向量：
$$
m = 3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k},\quad
n = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k},\quad
p = 5\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}.
$$
我们需要计算：
$$
a = 4m + 3n - p.
$$
先分别计算各项：
$$
4m = 4(3\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 8\mathbf{k}) = 12\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 32\mathbf{k},
$$
$$
3n = 3(2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} - 7\mathbf{k}) = 6\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 21\mathbf{k},
$$
$$
-p = -(5\mathbf{i} + \mathbf{j} - 4\mathbf{k}) = -5\mathbf{i} - \mathbf{j} + 4\mathbf{k}.
$$
将它们相加：
$$
a = (12+6-5)\mathbf{i} + (20-12-1)\mathbf{j} + (32-21+4)\mathbf{k}
$$
$$
= 13\mathbf{i} + 7\mathbf{j} + 15\mathbf{k}.
$$
因此向量 $a$ 的坐标为 $(13, 7, 15)$。
(1) 向量 $a$ 在 $x$ 轴上的投影，即 $a$ 的 $x$ 分量：
$$
\text{投影} = 13.
$$
(2) 在 $y$ 轴上的分向量，即只保留 $y$ 方向的分量：
$$
\text{分向量} = 7\mathbf{j}.
$$
最终答案：
$$
\boxed{13} \quad\text{和}\quad \boxed{7\mathbf{j}}.
$$
难度：★☆☆☆☆