同济高数 第8章 第8-1-20题
📝 题目
20．设 $O$ 是 $A, B$ 的连线以外的一点，证明 $A, B, C$ 三点共线的充分必要条件是 $\overrightarrow{O C}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B}$ ，其中 $\lambda+\mu=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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证明：
设 $O$ 是不在直线 $AB$ 上的一点。我们要证明 $A, B, C$ 三点共线的充要条件是存在实数 $\lambda, \mu$ 使得
$$
\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, \quad \lambda + \mu = 1.
$$
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必要性（若 $A, B, C$ 共线，则存在满足条件的表示）
因为 $A, B, C$ 共线，存在实数 $t$ 使得
$$
\overrightarrow{AC} = t \overrightarrow{AB}.
$$
将向量用 $O$ 表示：
$$
\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = t (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}).
$$
整理得：
$$
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + t (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = (1 - t) \overrightarrow{OA} + t \overrightarrow{OB}.
$$
令 $\lambda = 1 - t$，$\mu = t$，则显然 $\lambda + \mu = 1$，且
$$
\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}.
$$
必要性得证。
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充分性（若存在 $\lambda + \mu = 1$ 使上式成立，则 $A, B, C$ 共线）
已知：
$$
\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}, \quad \lambda + \mu = 1.
$$
将 $\mu = 1 - \lambda$ 代入：
$$
\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + (1 - \lambda) \overrightarrow{OB}.
$$
移项：
$$
\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \lambda (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}).
$$
即：
$$
\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{BA}.
$$
这说明 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 共线，因此 $A, B, C$ 三点共线。
充分性得证。
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综上，$A, B, C$ 三点共线的充要条件是存在 $\lambda, \mu$ 满足 $\lambda + \mu = 1$，且
$$
\overrightarrow{OC} = \lambda \overrightarrow{OA} + \mu \overrightarrow{OB}.
$$
证毕。