同济高数 第8章 第8-1-8题

[AI解答]

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习题8-1 第8题
求点 $P(a, b, c)$ 关于 (1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标。

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(1) 关于各坐标面的对称点

- **关于 $xOy$ 平面（即 $z=0$ 平面）对称**：
点 $P(a,b,c)$ 到 $xOy$ 平面的距离为 $|c|$，对称后 $x, y$ 坐标不变，$z$ 坐标取相反数。
对称点坐标为：
$$(a, b, -c)$$

- **关于 $yOz$ 平面（即 $x=0$ 平面）对称**：
对称点坐标为：
$$(-a, b, c)$$

- **关于 $zOx$ 平面（即 $y=0$ 平面）对称**：
对称点坐标为：
$$(a, -b, c)$$

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(2) 关于各坐标轴的对称点

- **关于 $x$ 轴对称**：
对称后 $x$ 坐标不变，$y, z$ 坐标取相反数。
对称点坐标为：
$$(a, -b, -c)$$

- **关于 $y$ 轴对称**：
对称点坐标为：
$$(-a, b, -c)$$

- **关于 $z$ 轴对称**：
对称点坐标为：
$$(-a, -b, c)$$

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(3) 关于坐标原点的对称点

关于原点对称时，所有坐标取相反数：
对称点坐标为：
$$(-a, -b, -c)$$

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最终答案
(1) 关于坐标面：
$xOy$ 面：$(a, b, -c)$；
$yOz$ 面：$(-a, b, c)$；
$zOx$ 面：$(a, -b, c)$。

(2) 关于坐标轴：
$x$ 轴：$(a, -b, -c)$；
$y$ 轴：$(-a, b, -c)$；
$z$ 轴：$(-a, -b, c)$。

(3) 关于原点：$(-a, -b, -c)$。