同济高数 第8章 第8-1-9题
📝 题目
9．自点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．
💡 答案解析
[AI解答]
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习题8-1 第9题解答
已知点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，求垂足坐标。
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1. 向坐标面作垂线
#### (1) 向 $xOy$ 面作垂线
垂直于 $xOy$ 面即平行于 $z$ 轴，垂足在 $xOy$ 面上，因此 $z = 0$，而 $x, y$ 坐标不变。
垂足坐标为：
$$
(x_0,\ y_0,\ 0)
$$
#### (2) 向 $yOz$ 面作垂线
垂直于 $yOz$ 面即平行于 $x$ 轴，垂足在 $yOz$ 面上，因此 $x = 0$，而 $y, z$ 坐标不变。
垂足坐标为：
$$
(0,\ y_0,\ z_0)
$$
#### (3) 向 $zOx$ 面作垂线
垂直于 $zOx$ 面即平行于 $y$ 轴，垂足在 $zOx$ 面上，因此 $y = 0$，而 $x, z$ 坐标不变。
垂足坐标为：
$$
(x_0,\ 0,\ z_0)
$$
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2. 向坐标轴作垂线
#### (1) 向 $x$ 轴作垂线
垂直于 $x$ 轴且过点 $P_0$ 的直线与 $x$ 轴的交点，其 $y = 0,\ z = 0$，而 $x$ 坐标不变。
垂足坐标为：
$$
(x_0,\ 0,\ 0)
$$
#### (2) 向 $y$ 轴作垂线
同理，垂足坐标为：
$$
(0,\ y_0,\ 0)
$$
#### (3) 向 $z$ 轴作垂线
垂足坐标为：
$$
(0,\ 0,\ z_0)
$$
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最终答案汇总
- 向坐标面垂足：
$xOy$ 面：$(x_0, y_0, 0)$
$yOz$ 面：$(0, y_0, z_0)$
$zOx$ 面：$(x_0, 0, z_0)$
- 向坐标轴垂足：
$x$ 轴：$(x_0, 0, 0)$
$y$ 轴：$(0, y_0, 0)$
$z$ 轴：$(0, 0, z_0)$