同济高数 第8章 第8-2-9题
📝 题目
9．已知向量 $a=2 i-3 j+k, b=i-j+3 k$ 和 $c=i-2 j$ ，计算：
（1）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c}-(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(a+b) \times(b+c)$ ；
（3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：已知向量
$$
\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k},\quad
\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k},\quad
\boldsymbol{c}=\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}
$$
计算以下各式。
---
（1）$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b}$
步骤：
先计算点积：
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (2)(1) + (-3)(-1) + (1)(3) = 2 + 3 + 3 = 8
$$
$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} = (2)(1) + (-3)(-2) + (1)(0) = 2 + 6 + 0 = 8
$$
于是：
$$
(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \boldsymbol{c} = 8 \cdot ( \boldsymbol{i} - 2\boldsymbol{j} ) = 8\boldsymbol{i} - 16\boldsymbol{j}
$$
$$
(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}) \boldsymbol{b} = 8 \cdot ( \boldsymbol{i} - \boldsymbol{j} + 3\boldsymbol{k} ) = 8\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} + 24\boldsymbol{k}
$$
相减得：
$$
(8\boldsymbol{i} - 16\boldsymbol{j}) - (8\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} + 24\boldsymbol{k}) = (8-8)\boldsymbol{i} + (-16+8)\boldsymbol{j} + (0-24)\boldsymbol{k}
= 0\boldsymbol{i} - 8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k}
$$
所以：
$$
\boxed{-8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k}}
$$
---
（2）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
步骤：
先计算和向量：
$$
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = (2+1)\boldsymbol{i} + (-3-1)\boldsymbol{j} + (1+3)\boldsymbol{k} = 3\boldsymbol{i} -4\boldsymbol{j} +4\boldsymbol{k}
$$
$$
\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = (1+1)\boldsymbol{i} + (-1-2)\boldsymbol{j} + (3+0)\boldsymbol{k} = 2\boldsymbol{i} -3\boldsymbol{j} +3\boldsymbol{k}
$$
计算叉积：
$$
(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \times (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
3 & -4 & 4 \\
2 & -3 & 3
\end{vmatrix}
$$
按第一行展开：
$$
= \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -3 & 3 \end{vmatrix}
- \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}
+ \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}
$$
计算各行列式：
$$
\begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (-4)(3) - (4)(-3) = -12 + 12 = 0
$$
$$
\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (4)(2) = 9 - 8 = 1
$$
$$
\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 2 & -3 \end{vmatrix} = (3)(-3) - (-4)(2) = -9 + 8 = -1
$$
因此：
$$
= 0\,\boldsymbol{i} - 1\,\boldsymbol{j} + (-1)\,\boldsymbol{k} = -\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}
$$
所以：
$$
\boxed{-\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}}
$$
---
（3）$(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$
步骤：
先计算 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} =
\begin{vmatrix}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
2 & -3 & 1 \\
1 & -1 & 3
\end{vmatrix}
$$
展开：
$$
= \boldsymbol{i} \begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}
- \boldsymbol{j} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}
+ \boldsymbol{k} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (1)(-1) = -9 + 1 = -8
$$
$$
\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5
$$
$$
\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (-3)(1) = -2 + 3 = 1
$$
所以：
$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -8\boldsymbol{i} - 5\boldsymbol{j} + 1\boldsymbol{k}
$$
再与 $\boldsymbol{c} = \boldsymbol{i} - 2\boldsymbol{j}$ 做点积：
$$
(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = (-8)(1) + (-5)(-2) + (1)(0) = -8 + 10 + 0 = 2
$$
所以：
$$
\boxed{2}
$$
---
最终答案：
（1）$-8\boldsymbol{j} - 24\boldsymbol{k}$
（2）$-\boldsymbol{j} - \boldsymbol{k}$
（3）$2$