同济高数 第8章 第8-2-*12题
📝 题目
＊12．已知 $\boldsymbol{a}=\left(a_{x}, a_{y}, a_{z}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{x}, b_{y}, b_{z}\right), \boldsymbol{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ ，试利用行列式的性质证明：
$$
(a \times b) \cdot c=(b \times c) \cdot a=(c \times a) \cdot b .
$$
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💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知向量 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z),\ \boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z),\ \boldsymbol{c}=(c_x,c_y,c_z)$。
混合积的表达式为：
$$
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}
= \det\begin{pmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{pmatrix}.
$$
同理，
$$
(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}
= \det\begin{pmatrix}
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z
\end{pmatrix}.
$$
由行列式的性质：交换两行，行列式变号；交换两次，行列式不变。
将第一个行列式的第一行与第二行交换，得：
$$
\det\begin{pmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{pmatrix}
= -\det\begin{pmatrix}
b_x & b_y & b_z \\
a_x & a_y & a_z \\
c_x & c_y & c_z
\end{pmatrix}.
$$
再将第二行与第三行交换：
$$
= - \left( -\det\begin{pmatrix}
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z
\end{pmatrix} \right)
= \det\begin{pmatrix}
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z
\end{pmatrix}.
$$
因此
$$
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}
= (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}.
$$
同理，再交换一次行序可得第三个等式：
$$
(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}
= (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}.
$$
所以三个混合积相等，即
$$
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}
= (\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}
= (\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}.
$$
难度：★☆☆☆☆