同济高数 第8章 第8-3-6题
📝 题目
6．设一平面过点 $M_{0}(1,2,-1)$ 且垂直于平面 $3 x-4 y+z+16=0$ 和 $4 x-z+6=0$ ，试求这平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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解题步骤：
1. 分析题意
所求平面过点 $M_0(1,2,-1)$，且垂直于两个已知平面：
$$
\Pi_1: 3x - 4y + z + 16 = 0,\quad \Pi_2: 4x - z + 6 = 0.
$$
两已知平面的法向量分别为：
$$
\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1),\quad \mathbf{n}_2 = (4, 0, -1).
$$
2. 确定所求平面的法向量
因为所求平面同时垂直于 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$，所以它的法向量 $\mathbf{n}$ 应同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，即 $\mathbf{n}$ 平行于 $\mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$。
计算叉积：
$$
\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & -4 & 1 \\
4 & 0 & -1
\end{vmatrix}.
$$
按第一行展开：
$$
\mathbf{i} \cdot ((-4)(-1) - (1)(0)) - \mathbf{j} \cdot ((3)(-1) - (1)(4)) + \mathbf{k} \cdot ((3)(0) - (-4)(4)).
$$
计算各分量：
- $i$ 分量：$(-4)(-1) - 0 = 4$，
- $j$ 分量：注意负号，先算括号内 $(3)(-1) - (1)(4) = -3 - 4 = -7$，再取负得 $-(-7)=7$，但注意公式是 $-\mathbf{j}\cdot(\cdots)$，所以实际 $j$ 分量为 $-(-7)=7$，即系数为 $7$，
- $k$ 分量：$0 - (-16) = 16$。
因此：
$$
\mathbf{n} = (4, 7, 16).
$$
3. 写出平面方程
过点 $M_0(1,2,-1)$ 且法向量为 $(4,7,16)$ 的平面方程为：
$$
4(x - 1) + 7(y - 2) + 16(z + 1) = 0.
$$
化简：
$$
4x - 4 + 7y - 14 + 16z + 16 = 0,
$$
$$
4x + 7y + 16z - 2 = 0.
$$
4. 最终结果
$$
\boxed{4x + 7y + 16z - 2 = 0}.
$$