同济高数 第8章 第8-4-6题
📝 题目
6．证明直线 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y-z=7, \\ -2 x+y+z=7\end{array}\right.$ 与直线 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y-3 z=8, \\ 2 x-y-z=0\end{array}\right.$ 平行．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：证明直线
$$
L_1:\begin{cases}
x+2y-z=7,\\
-2x+y+z=7
\end{cases}
\quad\text{与}\quad
L_2:\begin{cases}
3x+6y-3z=8,\\
2x-y-z=0
\end{cases}
$$
平行。
证明步骤：
1. 求直线方向向量的方法
直线由两个平面方程的交线给出，其方向向量垂直于两个平面的法向量，因此方向向量可取为两法向量的叉积。
2. **求 $L_1$ 的方向向量**
平面法向量分别为
$$
\vec{n}_{11}=(1,2,-1),\quad \vec{n}_{12}=(-2,1,1)
$$
方向向量
$$
\vec{s}_1 = \vec{n}_{11} \times \vec{n}_{12}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & 1 & 1
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{s}_1 = \mathbf{i}(2\cdot1 - (-1)\cdot1) - \mathbf{j}(1\cdot1 - (-1)\cdot(-2)) + \mathbf{k}(1\cdot1 - 2\cdot(-2))
$$
$$
= \mathbf{i}(2+1) - \mathbf{j}(1-2) + \mathbf{k}(1+4)
= (3, 1, 5)
$$
3. **求 $L_2$ 的方向向量**
平面法向量分别为
$$
\vec{n}_{21}=(3,6,-3),\quad \vec{n}_{22}=(2,-1,-1)
$$
方向向量
$$
\vec{s}_2 = \vec{n}_{21} \times \vec{n}_{22}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
3 & 6 & -3 \\
2 & -1 & -1
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{s}_2 = \mathbf{i}(6\cdot(-1) - (-3)\cdot(-1)) - \mathbf{j}(3\cdot(-1) - (-3)\cdot2) + \mathbf{k}(3\cdot(-1) - 6\cdot2)
$$
$$
= \mathbf{i}(-6 - 3) - \mathbf{j}(-3 + 6) + \mathbf{k}(-3 - 12)
= (-9, -3, -15)
$$
4. 判断平行关系
观察 $\vec{s}_2 = (-9,-3,-15) = -3(3,1,5) = -3\vec{s}_1$，
因此 $\vec{s}_1$ 与 $\vec{s}_2$ 成比例，两直线方向相同或相反，故两直线平行。
结论：直线 $L_1$ 与 $L_2$ 平行。