同济高数 第8章 第8-4-7题

[AI解答]

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第一步：确定所求直线的方向向量
设所求直线的方向向量为 $\vec{s} = (a, b, c)$。

已知所求直线与平面 $3x + 4y - z + 6 = 0$ 平行，因此方向向量垂直于该平面的法向量 $\vec{n} = (3, 4, -1)$，即
$$
\vec{s} \cdot \vec{n} = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a + 4b - c = 0. \tag{1}
$$

又已知所求直线与直线
$$
\frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z}{1}
$$
垂直，因此方向向量垂直于该直线的方向向量 $\vec{m} = (1, 4, 1)$，即
$$
\vec{s} \cdot \vec{m} = 0 \quad\Rightarrow\quad a + 4b + c = 0. \tag{2}
$$

第二步：解方程组求方向向量
联立 (1) 和 (2)：
$$
\begin{cases}
3a + 4b - c = 0, \\
a + 4b + c = 0.
\end{cases}
$$
两式相加得：
$$
4a + 8b = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2b.
$$
代入第二个方程：
$$
-2b + 4b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = -2b.
$$
取 $b = 1$，则 $a = -2$，$c = -2$，所以方向向量为
$$
\vec{s} = (-2, 1, -2).
$$

第三步：写出直线方程
所求直线过点 $(1, 0, -2)$，方向向量为 $(-2, 1, -2)$，因此对称式方程为：
$$
\frac{x - 1}{-2} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z + 2}{-2}.
$$

最终答案：
$$
\boxed{\frac{x-1}{-2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{-2}}
$$