同济高数 第8章 第8-4-8题
📝 题目
8．求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\displaystyle \frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：求过点 $(3,1,-2)$ 且通过直线 $\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}$ 的平面方程。
解：
1. 确定直线的方向向量和一个已知点
直线的对称式方程为
$$
\frac{x-4}{5}=\frac{y+3}{2}=\frac{z}{1}
$$
因此直线的方向向量为
$$
\vec{s} = (5, 2, 1)
$$
并且直线上有一个已知点 $A(4, -3, 0)$。
2. 确定平面上两个不共线的向量
已知平面过点 $P(3, 1, -2)$ 和直线，因此直线上的点 $A(4, -3, 0)$ 也在平面上。
向量 $\overrightarrow{PA}$ 为
$$
\overrightarrow{PA} = (4-3,\ -3-1,\ 0-(-2)) = (1, -4, 2)
$$
另一个向量取直线的方向向量 $\vec{s} = (5, 2, 1)$。
这两个向量不平行（因为对应分量不成比例），可作为平面上的两个方向向量。
3. 求平面的法向量
法向量 $\vec{n}$ 为 $\overrightarrow{PA}$ 与 $\vec{s}$ 的叉积：
$$
\vec{n} = \overrightarrow{PA} \times \vec{s}
= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -4 & 2 \\
5 & 2 & 1
\end{vmatrix}
$$
计算：
$$
\vec{n} = \mathbf{i}((-4)\cdot 1 - 2\cdot 2) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 2\cdot 5) + \mathbf{k}(1\cdot 2 - (-4)\cdot 5)
$$
$$
= \mathbf{i}(-4 - 4) - \mathbf{j}(1 - 10) + \mathbf{k}(2 + 20)
$$
$$
= (-8, 9, 22)
$$
4. 写出平面方程
平面过点 $P(3,1,-2)$，法向量为 $(-8, 9, 22)$，则平面方程为
$$
-8(x - 3) + 9(y - 1) + 22(z + 2) = 0
$$
化简：
$$
-8x + 24 + 9y - 9 + 22z + 44 = 0
$$
$$
-8x + 9y + 22z + 59 = 0
$$
两边乘以 $-1$ 得：
$$
8x - 9y - 22z - 59 = 0
$$
最终答案：
$$
\boxed{8x - 9y - 22z - 59 = 0}
$$