同济高数 第8章 第8-5-9题
📝 题目
9．指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：
（1）$x=2$ ；
（2）$y=x+1$ ；
（3）$x^{2}+y^{2}=4$ ；
（4）$x^{2}-y^{2}=1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下分别指出各方程在平面解析几何和空间解析几何中的图形表示。
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**(1) $x=2$
- 平面解析几何**：表示一条垂直于 $x$ 轴、过点 $(2,0)$ 的直线。
- 空间解析几何：表示一个平行于 $yOz$ 平面、过点 $(2,0,0)$ 的平面。
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**(2) $y=x+1$
- 平面解析几何：表示一条斜率为 1、截距为 1 的直线。
- 空间解析几何**：表示一个平行于 $z$ 轴的平面（即母线平行于 $z$ 轴的柱面），在 $xOy$ 平面上的投影为直线 $y=x+1$。
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**(3) $x^{2}+y^{2}=4$
- 平面解析几何：表示圆心在原点、半径为 2 的圆。
- 空间解析几何**：表示一个以 $z$ 轴为对称轴的圆柱面，半径为 2。
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**(4) $x^{2}-y^{2}=1$
- 平面解析几何**：表示中心在原点、实轴在 $x$ 轴上的双曲线。
- 空间解析几何：表示一个双曲柱面，母线平行于 $z$ 轴。
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难度评级：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析方程 x=2 在平面和空间中的图形
在平面解析几何中，x=2 表示一条垂直于 x 轴、过点 (2,0) 的直线。在空间解析几何中，x=2 表示一个平行于 yOz 平面、过点 (2,0,0) 的平面。
提示：注意空间解析几何中缺少变量 z，表示 z 可以取任意值，因此是平面。
步骤 2/4
目标：分析方程 y=x+1 在平面和空间中的图形
在平面解析几何中，y=x+1 表示一条斜率为 1、截距为 1 的直线。在空间解析几何中，y=x+1 表示一个平行于 z 轴的平面（即母线平行于 z 轴的柱面），在 xOy 平面上的投影为直线 y=x+1。
提示：缺少变量 z，所以图形沿 z 轴方向无限延伸，形成柱面。
步骤 3/4
目标：分析方程 x^2+y^2=4 在平面和空间中的图形
在平面解析几何中，x^2+y^2=4 表示圆心在原点、半径为 2 的圆。在空间解析几何中，x^2+y^2=4 表示一个以 z 轴为对称轴的圆柱面，半径为 2。
提示：缺少变量 z，所以图形是圆柱面。
步骤 4/4
目标：分析方程 x^2-y^2=1 在平面和空间中的图形
在平面解析几何中，x^2-y^2=1 表示中心在原点、实轴在 x 轴上的双曲线。在空间解析几何中，x^2-y^2=1 表示一个双曲柱面，母线平行于 z 轴。
提示：缺少变量 z，所以图形是柱面。
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