同济高数 第8章 第8-6-1题

[AI解答]

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习题8-6 第1题
题目要求画出各曲线在第 I 卦限内的图形。第 I 卦限指 $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ 的区域。

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（1）
方程组为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=1, \\
y=2 ;
\end{array}\right.
$$
这里 $x$ 和 $y$ 固定，$z$ 自由。因此它表示一条平行于 $z$ 轴的直线，过点 $(1,2,0)$。
在第 I 卦限内，$z \ge 0$，所以图形是从点 $(1,2,0)$ 出发向上延伸的射线。

图形描述：一条垂直于 $xy$ 平面的竖直线段（射线），起点在 $(1,2,0)$，沿 $z$ 轴正向。

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（2）
方程组为
$$
\left\{\begin{array}{l}
z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \\
x-y=0 .
\end{array}\right.
$$
第一个方程是上半球面 $x^2+y^2+z^2=4$（$z\ge 0$），第二个方程是平面 $x=y$。
它们的交线是球面上的一个大圆弧（半圆）。
在第 I 卦限内，$x\ge0,y\ge0,z\ge0$，且 $x=y$，所以交线满足
$$
2x^2+z^2=4,\quad x\ge0,\;z\ge0.
$$
即
$$
\frac{x^2}{2}+\frac{z^2}{4}=1,\quad x\ge0,z\ge0.
$$
这是 $xz$ 平面内的一个椭圆弧（实际是半椭圆），但注意这里 $x=y$，所以曲线在空间中是位于平面 $x=y$ 上的半椭圆弧。

图形描述：在平面 $x=y$ 上，从点 $(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$ 到点 $(0,0,2)$ 的一条弧线，位于第 I 卦限。

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（3）
方程组为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=a^{2}, \\
x^{2}+z^{2}=a^{2} .
\end{array}\right.
$$
第一个是圆柱面，第二个也是圆柱面，两者轴线分别平行于 $z$ 轴和 $y$ 轴。它们的交线是空间曲线。
两式相减得 $y^2 = z^2$，即 $y = \pm z$。在第 I 卦限，$y\ge0,z\ge0$，所以 $y=z$。
代入第一个方程得 $x^2+y^2=a^2$，且 $y=z\ge0$。
因此曲线是圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 与平面 $y=z$ 的交线，即一个椭圆（实际是圆）的一部分。
在第 I 卦限，$x\ge0,y\ge0,z\ge0$，所以曲线是从 $(a,0,0)$ 到 $(0,a,a)$ 的一段空间曲线，参数形式为
$$
x = a\cos t,\quad y = a\sin t,\quad z = a\sin t,\quad t\in[0,\frac{\pi}{2}].
$$

图形描述：位于第 I 卦限的一段空间曲线，起点 $(a,0,0)$，终点 $(0,a,a)$，形状为四分之一圆弧在空间中的拉伸。

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总结：
(1) 竖直线（射线）；
(2) 平面 $x=y$ 上的半椭圆弧；
(3) 两圆柱交线在第 I 卦限的一段空间曲线。