同济高数 第8章 第8-6-4题
📝 题目
4．求下列两曲面的交线在 $x O y$ 面上的投影的方程：
（1）球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与平面 $x+z=1$ ；
（2）椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 与圆锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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(1) 球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9$ 与平面 $x+z=1$ 的交线在 $xOy$ 面上的投影方程。
由平面方程得 $z = 1 - x$，代入球面方程：
$$
x^{2}+y^{2}+(1-x)^{2}=9
$$
展开：
$$
x^{2}+y^{2}+1 - 2x + x^{2}=9
$$
整理：
$$
2x^{2} - 2x + y^{2} + 1 = 9
$$
$$
2x^{2} - 2x + y^{2} - 8 = 0
$$
两边除以 2：
$$
x^{2} - x + \frac{y^{2}}{2} - 4 = 0
$$
配方：
$$
\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} - \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{2} - 4 = 0
$$
$$
\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + \frac{y^{2}}{2} = \frac{17}{4}
$$
两边乘以 4：
$$
4\left(x - \frac{1}{2}\right)^{2} + 2y^{2} = 17
$$
或者写成标准形式：
$$
\frac{\left(x - \frac12\right)^2}{\frac{17}{4}} + \frac{y^2}{\frac{17}{2}} = 1
$$
因此交线在 $xOy$ 面上的投影方程为：
$$
\boxed{4\left(x-\frac12\right)^2 + 2y^2 = 17}
$$
---
(2) 椭球面 $x^{2}+y^{2}+4z^{2}=1$ 与圆锥面 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 的交线在 $xOy$ 面上的投影方程。
由圆锥面方程 $z^{2}=x^{2}+y^{2}$，代入椭球面方程：
$$
x^{2}+y^{2}+4(x^{2}+y^{2}) = 1
$$
即：
$$
5(x^{2}+y^{2}) = 1
$$
所以：
$$
x^{2}+y^{2} = \frac{1}{5}
$$
这是交线在 $xOy$ 面上的投影曲线方程，它是一个圆。
因此投影方程为：
$$
\boxed{x^{2}+y^{2} = \frac{1}{5}}
$$