同济高数 第8章 第8-6-5题
📝 题目
5．将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）$\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\ y=x ;\end{array}\right.$
（2）$\left\{\begin{array}{l}(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\ z=0 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） 曲线方程为
$$
\begin{cases}
x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, \\
y=x .
\end{cases}
$$
将 $y=x$ 代入第一个方程得
$$
x^{2}+x^{2}+z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}+z^{2}=9.
$$
这是一个椭圆方程，可令
$$
x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\quad z=3\sin t,
$$
则 $y=x=\frac{3}{\sqrt{2}}\cos t$，其中 $t\in[0,2\pi)$。
因此参数方程为
$$
\boxed{\begin{cases}
x=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\$$4pt]
y=\dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t,\$$4pt]
z=3\sin t,
\end{cases}\quad t\in[0,2\pi)}.
$$
（2） 曲线方程为
$$
\begin{cases}
(x-1)^{2}+y^{2}+(z+1)^{2}=4, \\
z=0 .
\end{cases}
$$
将 $z=0$ 代入第一个方程得
$$
(x-1)^{2}+y^{2}+(0+1)^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=3.
$$
这是一个圆心在 $(1,0)$、半径为 $\sqrt{3}$ 的圆。令
$$
x-1=\sqrt{3}\cos t,\quad y=\sqrt{3}\sin t,
$$
即
$$
x=1+\sqrt{3}\cos t,\quad y=\sqrt{3}\sin t,
$$
且 $z=0$，$t\in[0,2\pi)$。
因此参数方程为
$$
\boxed{\begin{cases}
x=1+\sqrt{3}\cos t,\\
y=\sqrt{3}\sin t,\\
z=0,
\end{cases}\quad t\in[0,2\pi)}.
$$