同济高数 第8章 第8-6-6题

[AI解答]

[AI解答]

**第一步：在 $xOy$ 平面上的投影**
螺旋线的参数方程为
$$
\begin{cases}
x = a \cos \theta,\\
y = a \sin \theta,\\
z = b\theta.
\end{cases}
$$
在 $xOy$ 平面上的投影，即消去参数 $z$（或 $\theta$），只保留 $x, y$ 的关系。
由前两个方程可得
$$
x^2 + y^2 = a^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = a^2.
$$
因此，在 $xOy$ 平面上的投影曲线是圆：
$$
x^2 + y^2 = a^2,\quad z = 0.
$$

**第二步：在 $yOz$ 平面上的投影**
在 $yOz$ 平面上，坐标是 $(y,z)$，需要消去 $x$ 和 $\theta$ 之间的关系。
由参数方程可得
$$
y = a\sin\theta,\quad z = b\theta.
$$
因此 $\theta = \frac{z}{b}$，代入得
$$
y = a\sin\frac{z}{b}.
$$
所以投影曲线为
$$
y = a\sin\frac{z}{b},\quad x = 0.
$$

**第三步：在 $xOz$ 平面上的投影**
在 $xOz$ 平面上，坐标是 $(x,z)$，同样消去 $y$ 和 $\theta$。
由
$$
x = a\cos\theta,\quad z = b\theta,
$$
得 $\theta = \frac{z}{b}$，代入得
$$
x = a\cos\frac{z}{b}.
$$
因此投影曲线为
$$
x = a\cos\frac{z}{b},\quad y = 0.
$$

最终答案
$$
\boxed{
\begin{aligned}
&xOy\text{ 面投影：} x^2+y^2=a^2,\ z=0;\\
&yOz\text{ 面投影：} y=a\sin\frac{z}{b},\ x=0;\\
&xOz\text{ 面投影：} x=a\cos\frac{z}{b},\ y=0.
\end{aligned}
}
$$