同济高数 第8章 第8-6-8题

[AI解答]

[AI解答]

题目：求旋转抛物面 $ z = x^2 + y^2 $（$ 0 \leqslant z \leqslant 4 $）在三坐标面上的投影。

解：

1. **在 $xOy$ 平面上的投影**
旋转抛物面方程为 $ z = x^2 + y^2 $，且 $ 0 \leqslant z \leqslant 4 $。
在 $xOy$ 平面上，投影区域由 $ z = 0 $ 和 $ z = 4 $ 两个水平截面决定。
当 $ z = 0 $ 时，得 $ x^2 + y^2 = 0 $，即点 $(0,0)$；
当 $ z = 4 $ 时，得 $ x^2 + y^2 = 4 $，即半径为 2 的圆。
由于 $ z $ 从 0 到 4，对应的 $ x^2 + y^2 $ 从 0 到 4，因此投影区域为圆盘：
$$
D_{xy} = \{(x, y) \mid x^2 + y^2 \leqslant 4\}.
$$

2. **在 $yOz$ 平面上的投影**
在 $yOz$ 平面上，$ x = 0 $。曲面方程变为 $ z = y^2 $，且 $ 0 \leqslant z \leqslant 4 $。
由 $ z = y^2 $ 得 $ y = \pm \sqrt{z} $，且 $ z \in [0, 4] $。
因此投影区域为抛物线 $ z = y^2 $ 与直线 $ z = 4 $ 所围成的区域，即：
$$
D_{yz} = \{(y, z) \mid -2 \leqslant y \leqslant 2,\; y^2 \leqslant z \leqslant 4\}.
$$

3. **在 $zOx$ 平面上的投影**
在 $zOx$ 平面上，$ y = 0 $。曲面方程变为 $ z = x^2 $，且 $ 0 \leqslant z \leqslant 4 $。
由 $ z = x^2 $ 得 $ x = \pm \sqrt{z} $，且 $ z \in [0, 4] $。
因此投影区域为抛物线 $ z = x^2 $ 与直线 $ z = 4 $ 所围成的区域，即：
$$
D_{zx} = \{(x, z) \mid -2 \leqslant x \leqslant 2,\; x^2 \leqslant z \leqslant 4\}.
$$

最终答案：
- 在 $xOy$ 平面上的投影：$ x^2 + y^2 \leqslant 4 $；
- 在 $yOz$ 平面上的投影：$ y^2 \leqslant z \leqslant 4,\; -2 \leqslant y \leqslant 2 $；
- 在 $zOx$ 平面上的投影：$ x^2 \leqslant z \leqslant 4,\; -2 \leqslant x \leqslant 2 $。