同济高数 第9章 第9-2-2题
📝 题目
2．求下列函数的偏导数：
（1）$z=x^{3} y-y^{3} x$ ；
（2）$\displaystyle s=\frac{u^{2}+v^{2}}{u v}$ ；
（3）$z=\sqrt{\ln (x y)}$ ；
（4）$z=\sin (x y)+\cos ^{2}(x y)$ ；
（5）$\displaystyle z=\ln \tan \frac{x}{y}$ ；
（6）$z=(1+x y)^{y}$ ；
（7）$\displaystyle u=x^{\frac{y}{z}}$ ；
（8）$u=\arctan (x-y)^{z}$ ．
💡 答案解析
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以下为各小题的偏导数求解过程。
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（1） $ z = x^{3} y - y^{3} x $
对 $x$ 求偏导（视 $y$ 为常数）：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^{2} y - y^{3}
$$
对 $y$ 求偏导（视 $x$ 为常数）：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{3} - 3y^{2} x
$$
---
（2） $ s = \frac{u^{2}+v^{2}}{u v} $
先化简：
$$
s = \frac{u}{v} + \frac{v}{u}
$$
对 $u$ 求偏导：
$$
\frac{\partial s}{\partial u} = \frac{1}{v} - \frac{v}{u^{2}}
$$
对 $v$ 求偏导：
$$
\frac{\partial s}{\partial v} = -\frac{u}{v^{2}} + \frac{1}{u}
$$
---
（3） $ z = \sqrt{\ln (x y)} $
令 $t = \ln(xy) = \ln x + \ln y$，则 $z = t^{1/2}$。
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{\ln(xy)}} \cdot \frac{1}{x}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{\ln(xy)}} \cdot \frac{1}{y}
$$
---
（4） $ z = \sin(xy) + \cos^{2}(xy) $
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy) + 2\cos(xy) \cdot (-\sin(xy)) \cdot y
= y\cos(xy) - 2y \cos(xy)\sin(xy)
$$
可简写为：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy)\big[1 - 2\sin(xy)\big]
$$
对 $y$ 同理：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy) - 2x \cos(xy)\sin(xy)
= x\cos(xy)\big[1 - 2\sin(xy)\big]
$$
---
（5） $ z = \ln \tan \frac{x}{y} $
对 $x$：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^{2}\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{y}
= \frac{1}{y} \cdot \frac{\sec^{2}\frac{x}{y}}{\tan\frac{x}{y}}
= \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}}
= \frac{2}{y\sin\frac{2x}{y}}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\tan\frac{x}{y}} \cdot \sec^{2}\frac{x}{y} \cdot \left(-\frac{x}{y^{2}}\right)
= -\frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{1}{\sin\frac{x}{y}\cos\frac{x}{y}}
= -\frac{2x}{y^{2}\sin\frac{2x}{y}}
$$
---
（6） $ z = (1+xy)^{y} $
取对数：$\ln z = y \ln(1+xy)$。
对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{y}{1+xy} = \frac{y^{2}}{1+xy}
\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x} = (1+xy)^{y} \cdot \frac{y^{2}}{1+xy}
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial y} = \ln(1+xy) + y \cdot \frac{x}{1+xy}
$$
所以
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = (1+xy)^{y} \left[ \ln(1+xy) + \frac{xy}{1+xy} \right]
$$
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（7） $ u = x^{\frac{y}{z}} $
取对数：$\ln u = \frac{y}{z} \ln x$。
对 $x$：
$$
\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{y}{z} \cdot \frac{1}{x}
\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} = x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{y}{zx}
$$
对 $y$：
$$
\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\ln x}{z}
\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{\ln x}{z}
$$
对 $z$：
$$
\frac{1}{u}\frac{\partial u}{\partial z} = -\frac{y}{z^{2}} \ln x
\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial z} = -x^{\frac{y}{z}} \cdot \frac{y \ln x}{z^{2}}
$$
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（8） $ u = \arctan (x-y)^{z} $
令 $t = (x-y)^{z}$，则 $u = \arctan t$。
对 $x$：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot z (x-y)^{z-1}
$$
对 $y$：
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot z (x-y)^{z-1} \cdot (-1)
= -\frac{z (x-y)^{z-1}}{1+(x-y)^{2z}}
$$
对 $z$：
先对 $t = (x-y)^{z} = e^{z \ln(x-y)}$ 求导：
$$
\frac{\partial t}{\partial z} = (x-y)^{z} \ln(x-y)
$$
所以
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{1+(x-y)^{2z}} \cdot (x-y)^{z} \ln(x-y)
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察基本求导法则与链式法则，无复杂积分或级数，但部分题需取对数处理幂指函数，稍加注意即可。）