同济高数 第9章 第9-3-1题
📝 题目
1．求下列函数的全微分：
（1）$\displaystyle z=x y+\frac{x}{y}$ ；
（2）$\displaystyle z=e^{\frac{y}{x}}$ ；
（3）$\displaystyle z=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ；
（4）$u=x^{y z}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的全微分求解过程。
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（1） 已知
$$
z = xy + \frac{x}{y}
$$
先求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y + \frac{1}{y}, \quad
\frac{\partial z}{\partial y} = x - \frac{x}{y^{2}}
$$
因此全微分为
$$
\mathrm{d}z = \left(y + \frac{1}{y}\right)\mathrm{d}x + \left(x - \frac{x}{y^{2}}\right)\mathrm{d}y
$$
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（2） 已知
$$
z = e^{\frac{y}{x}}
$$
先求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = -\frac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}}
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}}
$$
因此全微分为
$$
\mathrm{d}z = -\frac{y}{x^{2}} e^{\frac{y}{x}} \,\mathrm{d}x + \frac{1}{x} e^{\frac{y}{x}} \,\mathrm{d}y
$$
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（3） 已知
$$
z = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
$$
先求偏导数：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} \right) = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}
$$
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}} - y \cdot \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}
$$
因此全微分为
$$
\mathrm{d}z = -\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} \,\mathrm{d}x + \frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} \,\mathrm{d}y
$$
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（4） 已知
$$
u = x^{yz}
$$
将其写为指数形式：
$$
u = e^{yz \ln x}
$$
先求偏导数：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = e^{yz \ln x} \cdot \frac{yz}{x} = x^{yz} \cdot \frac{yz}{x} = yz \, x^{yz-1}
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = e^{yz \ln x} \cdot (z \ln x) = x^{yz} \cdot z \ln x
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial z} = e^{yz \ln x} \cdot (y \ln x) = x^{yz} \cdot y \ln x
$$
因此全微分为
$$
\mathrm{d}u = yz \, x^{yz-1} \,\mathrm{d}x + x^{yz} z \ln x \,\mathrm{d}y + x^{yz} y \ln x \,\mathrm{d}z
$$
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难度评级：★★☆☆☆
（主要考察多元函数偏导与全微分公式，计算量较小，但需注意指数函数与分式求导细节。）