同济高数 第9章 第9-4-8题
📝 题目
8．求下列函数的一阶偏导数（其中 $f$ 具有一阶连续偏导数）：
（1）$u=f\left(x^{2}-y^{2}, \mathrm{e}^{x y}\right)$ ；
（2）$\displaystyle u=f\left(\frac{x}{y}, \frac{y}{z}\right)$ ；
（3）$u=f(x, x y, x y z)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求解步骤。
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（1） $ u = f(x^2 - y^2, e^{xy}) $
设中间变量：
$ v = x^2 - y^2 $，$ w = e^{xy} $，则 $ u = f(v, w) $。
由链式法则：
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
= \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
+ \frac{\partial f}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial x}
= f_1 \cdot (2x) + f_2 \cdot (y e^{xy})
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}
= \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
+ \frac{\partial f}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial y}
= f_1 \cdot (-2y) + f_2 \cdot (x e^{xy})
$$
其中 $ f_1 = \frac{\partial f}{\partial v} $，$ f_2 = \frac{\partial f}{\partial w} $。
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（2） $ u = f\left( \frac{x}{y}, \frac{y}{z} \right) $
设 $ p = \frac{x}{y} $，$ q = \frac{y}{z} $，则 $ u = f(p, q) $。
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
= f_1 \cdot \frac{\partial p}{\partial x} + f_2 \cdot \frac{\partial q}{\partial x}
= f_1 \cdot \frac{1}{y} + f_2 \cdot 0
= \frac{1}{y} f_1
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}
= f_1 \cdot \frac{\partial p}{\partial y} + f_2 \cdot \frac{\partial q}{\partial y}
= f_1 \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) + f_2 \cdot \frac{1}{z}
= -\frac{x}{y^2} f_1 + \frac{1}{z} f_2
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial z}
= f_1 \cdot \frac{\partial p}{\partial z} + f_2 \cdot \frac{\partial q}{\partial z}
= f_1 \cdot 0 + f_2 \cdot \left(-\frac{y}{z^2}\right)
= -\frac{y}{z^2} f_2
$$
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（3） $ u = f(x, xy, xyz) $
设 $ r = x $，$ s = xy $，$ t = xyz $，则 $ u = f(r, s, t) $。
$$
\frac{\partial u}{\partial x}
= f_1 \cdot \frac{\partial r}{\partial x}
+ f_2 \cdot \frac{\partial s}{\partial x}
+ f_3 \cdot \frac{\partial t}{\partial x}
= f_1 \cdot 1 + f_2 \cdot y + f_3 \cdot yz
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y}
= f_1 \cdot 0 + f_2 \cdot \frac{\partial s}{\partial y}
+ f_3 \cdot \frac{\partial t}{\partial y}
= f_2 \cdot x + f_3 \cdot xz
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial z}
= f_1 \cdot 0 + f_2 \cdot 0 + f_3 \cdot \frac{\partial t}{\partial z}
= f_3 \cdot xy
$$
其中 $ f_1, f_2, f_3 $ 分别表示对第1、2、3个中间变量的偏导数。
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难度评级：★★☆☆☆
（属于基础复合函数求偏导，只需掌握链式法则即可，但需注意变量顺序与符号书写。）