同济高数 第9章 第9-5-6题
📝 题目
6．设 $x=x(y, z), y=y(x, z), z=z(x, y)$ 都是由方程 $F(x, y, z)=0$ 所确定的具有连续偏导数的函数，证明 $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=-1$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知函数 $x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y)$ 均由方程
$$
F(x, y, z) = 0
$$
隐式定义，且 $F$ 具有连续偏导数，且偏导数不为零（以保证隐函数存在）。
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第一步：写出隐函数求导公式
由隐函数定理，对于 $x = x(y, z)$，将 $F(x(y,z), y, z) = 0$ 对 $y$ 求偏导（视 $z$ 为常数）：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial y} + \frac{\partial F}{\partial y} = 0
$$
因此
$$
\frac{\partial x}{\partial y} = - \frac{F_y}{F_x}
$$
其中记 $F_x = \displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}$，$F_y = \displaystyle{\frac{\partial F}{\partial y}}$，$F_z = \displaystyle{\frac{\partial F}{\partial z}}$。
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第二步：类似得到另外两个偏导
对于 $y = y(x, z)$，由 $F(x, y(x,z), z) = 0$ 对 $z$ 求偏导（$x$ 固定）：
$$
\frac{\partial F}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} + \frac{\partial F}{\partial z} = 0
$$
所以
$$
\frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{F_z}{F_y}
$$
对于 $z = z(x, y)$，由 $F(x, y, z(x,y)) = 0$ 对 $x$ 求偏导（$y$ 固定）：
$$
\frac{\partial F}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial x} = 0
$$
所以
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F_x}{F_z}
$$
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第三步：三式相乘
$$
\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}
= \left( -\frac{F_y}{F_x} \right) \cdot \left( -\frac{F_z}{F_y} \right) \cdot \left( -\frac{F_x}{F_z} \right)
$$
分子分母相约，得：
$$
= (-1)^3 \cdot \frac{F_y F_z F_x}{F_x F_y F_z} = -1
$$
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结论：
$$
\boxed{\frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = -1}
$$
难度：★★☆☆☆