同济高数 第9章 第9-6-12题

[AI解答]

[AI解答]

已知曲面方程为
$$
z = y^{2} + x^{3} y.
$$
切点为 $P(2,1,9)$，验证该点满足曲面方程：
$$
y^{2} + x^{3} y = 1^{2} + 2^{3} \cdot 1 = 1 + 8 = 9,
$$
所以点 $P$ 在曲面上。

曲面在点 $P$ 处的法向量为
$$
\mathbf{n} = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right),
$$
其中令 $F(x,y,z) = z - y^{2} - x^{3} y = 0$。
计算偏导数：
$$
\frac{\partial F}{\partial x} = -3x^{2} y, \quad
\frac{\partial F}{\partial y} = -2y - x^{3}, \quad
\frac{\partial F}{\partial z} = 1.
$$
在点 $P(2,1,9)$ 处：
$$
\frac{\partial F}{\partial x}\big|_{P} = -3 \cdot 4 \cdot 1 = -12,
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial y}\big|_{P} = -2 \cdot 1 - 8 = -10,
$$
$$
\frac{\partial F}{\partial z}\big|_{P} = 1.
$$
因此法向量为
$$
\mathbf{n} = (-12, -10, 1).
$$

设切线 $L$ 的方向向量为 $\mathbf{v} = (a, b, c)$。由于切线在曲面上，故切向量垂直于法向量：
$$
\mathbf{v} \cdot \mathbf{n} = 0 \quad\Rightarrow\quad -12a - 10b + c = 0.
$$
又已知切线在 $xOy$ 面上的投影平行于 $x$ 轴，即投影方向向量为 $(1,0,0)$ 的倍数，这意味着切线的方向向量在 $xOy$ 面上的分量 $(a,b)$ 与 $x$ 轴平行，因此
$$
b = 0.
$$
代入垂直条件：
$$
-12a + c = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 12a.
$$
取 $a = 1$，则方向向量为
$$
\mathbf{v} = (1, 0, 12).
$$

因此切线 $L$ 的参数方程为
$$
\begin{cases}
x = 2 + t, \\
y = 1, \\
z = 9 + 12t,
\end{cases}
\quad t \in \mathbb{R}.
$$

难度：★★☆☆☆