同济高数 第9章 第9-6-13题
📝 题目
13．求旋转椭球面 $3 x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 上点 $(-1,-2,3)$ 处的切平面与 $x O y$ 面的夹角的余弦．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知旋转椭球面方程为
$$
3x^{2}+y^{2}+z^{2}=16.
$$
令
$$
F(x,y,z)=3x^{2}+y^{2}+z^{2}-16,
$$
则曲面上点 $(-1,-2,3)$ 处的法向量为梯度
$$
\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z} \right) = (6x,\;2y,\;2z).
$$
代入点 $(-1,-2,3)$：
$$
\mathbf{n} = (6(-1),\;2(-2),\;2(3)) = (-6,\;-4,\;6).
$$
该点处的切平面方程为
$$
-6(x+1) -4(y+2) +6(z-3)=0.
$$
$xOy$ 平面（即 $z=0$ 平面）的法向量可取为
$$
\mathbf{n}_{0} = (0,0,1).
$$
两平面夹角 $\theta$ 的余弦等于它们法向量夹角余弦的绝对值：
$$
\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_{0}|}{\|\mathbf{n}\|\,\|\mathbf{n}_{0}\|}
= \frac{|(-6)\cdot0 + (-4)\cdot0 + 6\cdot1|}{\sqrt{(-6)^{2}+(-4)^{2}+6^{2}}\;\cdot 1}
= \frac{6}{\sqrt{36+16+36}} = \frac{6}{\sqrt{88}}.
$$
化简：
$$
\sqrt{88} = 2\sqrt{22},\quad \cos\theta = \frac{6}{2\sqrt{22}} = \frac{3}{\sqrt{22}}.
$$
因此，所求夹角的余弦为
$$
\boxed{\dfrac{3}{\sqrt{22}}}.
$$
难度：★★☆☆☆