同济高数 第9章 第9-6-14题
📝 题目
14．试证曲面 $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad(a\gt 0)$ 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $a$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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要证明曲面
$$
\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a} \quad (a>0)
$$
上任意一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面在三个坐标轴上的截距之和等于常数 $a$。
第一步：写出曲面方程并求梯度
令
$$
F(x,y,z)=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}-\sqrt{a}=0
$$
则梯度为
$$
\nabla F = \left( \frac{1}{2\sqrt{x}},\ \frac{1}{2\sqrt{y}},\ \frac{1}{2\sqrt{z}} \right)
$$
在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量可取为
$$
\mathbf{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{x_0}},\ \frac{1}{\sqrt{y_0}},\ \frac{1}{\sqrt{z_0}} \right)
$$
（常数因子 $\frac12$ 可省略，不影响切平面方程）。
第二步：写出切平面方程
切平面方程为
$$
\frac{1}{\sqrt{x_0}}(x-x_0)+\frac{1}{\sqrt{y_0}}(y-y_0)+\frac{1}{\sqrt{z_0}}(z-z_0)=0
$$
整理得
$$
\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}
$$
由曲面方程知
$$
\sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0}=\sqrt{a}
$$
所以切平面方程为
$$
\frac{x}{\sqrt{x_0}}+\frac{y}{\sqrt{y_0}}+\frac{z}{\sqrt{z_0}} = \sqrt{a}
$$
第三步：求截距
令 $y=0,z=0$，得 $x$ 轴截距
$$
X = \sqrt{a}\,\sqrt{x_0}
$$
同理
$$
Y = \sqrt{a}\,\sqrt{y_0},\quad Z = \sqrt{a}\,\sqrt{z_0}
$$
第四步：计算截距之和
$$
X+Y+Z = \sqrt{a}\left( \sqrt{x_0}+\sqrt{y_0}+\sqrt{z_0} \right) = \sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a
$$
因此截距之和恒为常数 $a$，与点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的选择无关。证毕。
难度：★★☆☆☆