同济高数 第9章 第9-6-15题
📝 题目
15．设 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 是可导的向量值函数，证明：
（1）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \pm \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ；
（2）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ；
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)]=\boldsymbol{u}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{v}(t)+\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}^{\prime}(t)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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证明：设向量值函数 $\boldsymbol{u}(t), \boldsymbol{v}(t)$ 在区间上可导，其分量形式可写为：
$$
\boldsymbol{u}(t) = (u_1(t), u_2(t), u_3(t)), \quad \boldsymbol{v}(t) = (v_1(t), v_2(t), v_3(t)),
$$
其中每个分量函数均可导。
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（1）和与差的导数
由导数的定义：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]
= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{[\boldsymbol{u}(t+\Delta t) \pm \boldsymbol{v}(t+\Delta t)] - [\boldsymbol{u}(t) \pm \boldsymbol{v}(t)]}{\Delta t}
$$
$$
= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{u}(t+\Delta t) - \boldsymbol{u}(t)}{\Delta t} \pm \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\boldsymbol{v}(t+\Delta t) - \boldsymbol{v}(t)}{\Delta t}
= \boldsymbol{u}'(t) \pm \boldsymbol{v}'(t).
$$
因此结论成立。
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（2）点积的导数
利用分量表示：
$$
\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t) = \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i(t).
$$
对 $t$ 求导：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}(t)]
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i(t)
= \sum_{i=1}^{3} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[u_i(t) v_i(t)].
$$
由乘积法则：
$$
= \sum_{i=1}^{3} \left[ u_i'(t) v_i(t) + u_i(t) v_i'(t) \right]
= \sum_{i=1}^{3} u_i'(t) v_i(t) + \sum_{i=1}^{3} u_i(t) v_i'(t)
= \boldsymbol{u}'(t) \cdot \boldsymbol{v}(t) + \boldsymbol{u}(t) \cdot \boldsymbol{v}'(t).
$$
因此结论成立。
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（3）叉积的导数
利用叉积的分量公式：
$$
\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3
\end{vmatrix}
= \left( u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1 \right).
$$
对每个分量求导，以第一个分量为例：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(u_2 v_3 - u_3 v_2)
= u_2' v_3 + u_2 v_3' - (u_3' v_2 + u_3 v_2')
= (u_2' v_3 - u_3' v_2) + (u_2 v_3' - u_3 v_2').
$$
这恰好是 $\boldsymbol{u}'(t) \times \boldsymbol{v}(t)$ 与 $\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}'(t)$ 的第一个分量之和。类似地，其余两个分量也成立，因此：
$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}(t)]
= \boldsymbol{u}'(t) \times \boldsymbol{v}(t) + \boldsymbol{u}(t) \times \boldsymbol{v}'(t).
$$
证毕。
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难度评级：★★☆☆☆