同济高数 第9章 第9-6-5题
📝 题目
5．求曲线 $y^{2}=2 m x, z^{2}=m-x$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切线及法平面方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知空间曲线由方程组
$$
\begin{cases}
y^{2}=2 m x, \$$2mm]
z^{2}=m-x
\end{cases}
$$
给出，求其在点 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 处的切线与法平面方程。
第一步：将曲线视为参数形式
由两个方程联立，可将 $x$ 作为参数，则
$$
y = \pm\sqrt{2mx},\quad z = \pm\sqrt{m-x}.
$$
在给定点处，取对应符号。设参数为 $t=x$，则曲线参数方程为
$$
\mathbf{r}(x) = \bigl(x,\; y(x),\; z(x)\bigr) = \bigl(x,\; \sqrt{2mx},\; \sqrt{m-x}\bigr)
$$
（符号由具体点决定，不影响方向导数计算）。
第二步：求切向量
对 $x$ 求导：
$$
\mathbf{r}'(x) = \left(1,\; \frac{d}{dx}\sqrt{2mx},\; \frac{d}{dx}\sqrt{m-x}\right).
$$
计算：
$$
\frac{d}{dx}\sqrt{2mx} = \frac{2m}{2\sqrt{2mx}} = \frac{m}{\sqrt{2mx}} = \frac{m}{y},
$$
$$
\frac{d}{dx}\sqrt{m-x} = \frac{-1}{2\sqrt{m-x}} = -\frac{1}{2z}.
$$
因此切向量为
$$
\mathbf{T} = \left(1,\; \frac{m}{y_{0}},\; -\frac{1}{2z_{0}}\right).
$$
第三步：切线方程
切线过点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$，方向为 $\mathbf{T}$，故对称式方程为
$$
\frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y - y_{0}}{\displaystyle\frac{m}{y_{0}}} = \frac{z - z_{0}}{\displaystyle -\frac{1}{2z_{0}}}.
$$
可化简为
$$
\frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y_{0}(y - y_{0})}{m} = -2z_{0}(z - z_{0}).
$$
第四步：法平面方程
法平面过点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$，法向量即为切向量 $\mathbf{T}$，故方程为
$$
1\cdot (x - x_{0}) + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0.
$$
整理得
$$
x - x_{0} + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0.
$$
最终答案
切线方程：
$$
\boxed{\frac{x - x_{0}}{1} = \frac{y_{0}(y - y_{0})}{m} = -2z_{0}(z - z_{0})}
$$
法平面方程：
$$
\boxed{x - x_{0} + \frac{m}{y_{0}}(y - y_{0}) - \frac{1}{2z_{0}}(z - z_{0}) = 0}
$$
难度：★★☆☆☆