同济高数 第9章 第9-8-7题
📝 题目
7．要造一个体积等于定数 $k$ 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设长方体水池的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$（单位：米），且无盖，因此表面积由底面和四个侧面组成。
体积约束条件为
$$
\displaystyle{xyz = k}
$$
表面积函数为
$$
S = xy + 2xz + 2yz
$$
由约束条件解出 $z = \dfrac{k}{xy}$，代入表面积得
$$
S(x,y) = xy + 2x\cdot\frac{k}{xy} + 2y\cdot\frac{k}{xy}
= xy + \frac{2k}{y} + \frac{2k}{x}
$$
问题转化为求二元函数 $S(x,y)$ 在 $x>0, y>0$ 时的最小值。
求偏导数并令其为零：
$$
\displaystyle{\frac{\partial S}{\partial x} = y - \frac{2k}{x^{2}} = 0}
\quad\Rightarrow\quad y = \frac{2k}{x^{2}}
$$
$$
\displaystyle{\frac{\partial S}{\partial y} = x - \frac{2k}{y^{2}} = 0}
\quad\Rightarrow\quad x = \frac{2k}{y^{2}}
$$
将 $y = \dfrac{2k}{x^{2}}$ 代入 $x = \dfrac{2k}{y^{2}}$ 得
$$
x = \frac{2k}{\left(\frac{2k}{x^{2}}\right)^{2}}
= \frac{2k}{\frac{4k^{2}}{x^{4}}}
= \frac{2k \cdot x^{4}}{4k^{2}}
= \frac{x^{4}}{2k}
$$
两边约去 $x$（$x>0$）得
$$
1 = \frac{x^{3}}{2k} \quad\Rightarrow\quad x^{3} = 2k \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt[3]{2k}
$$
代入 $y = \dfrac{2k}{x^{2}}$ 得
$$
y = \frac{2k}{(\sqrt[3]{2k})^{2}}
= \frac{2k}{(2k)^{2/3}}
= (2k)^{1/3} = \sqrt[3]{2k}
$$
再由 $z = \dfrac{k}{xy} = \dfrac{k}{(\sqrt[3]{2k})^{2}} = \dfrac{k}{(2k)^{2/3}} = \dfrac{k^{1/3}}{2^{2/3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$
因此当长、宽相等且为 $\sqrt[3]{2k}$，高为 $\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{2k}$ 时，表面积最小。
即最优尺寸为：底面正方形，边长 $\sqrt[3]{2k}$，高为边长的一半。
难度：★★☆☆☆