同济高数 第9章 第9-8-9题
📝 题目
9．将周长为 $2 p$ 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体．问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
设矩形绕其一边旋转，该边长度记为 $h$，另一边长度记为 $r$，则旋转后形成底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆柱体。
由周长条件：
$$
2(r + h) = 2p \quad\Rightarrow\quad r + h = p
$$
圆柱体体积公式为
$$
V = \pi r^2 h
$$
将 $h = p - r$ 代入得
$$
V(r) = \pi r^2 (p - r) = \pi (p r^2 - r^3), \quad 0 < r < p
$$
对 $r$ 求导：
$$
\frac{dV}{dr} = \pi (2p r - 3r^2) = \pi r (2p - 3r)
$$
令导数为零：
$$
\pi r (2p - 3r) = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 0 \ (\text{舍去}), \quad r = \frac{2p}{3}
$$
此时
$$
h = p - \frac{2p}{3} = \frac{p}{3}
$$
判断极值：二阶导数
$$
\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (2p - 6r)
$$
代入 $r = \frac{2p}{3}$：
$$
\frac{d^2V}{dr^2} = \pi \left(2p - 6\cdot\frac{2p}{3}\right) = \pi (2p - 4p) = -2\pi p < 0
$$
故为极大值，且由实际问题可知即为最大值。
因此，当矩形边长分别为 $\displaystyle{\frac{2p}{3}}$ 和 $\displaystyle{\frac{p}{3}}$ 时，绕长为 $\displaystyle{\frac{p}{3}}$ 的一边旋转所得圆柱体体积最大。
难度：★★☆☆☆