同济高数 第9章 第9-9-5题
📝 题目
5．求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 的 $n$ 阶泰勒公式．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
函数 $f(x,y) = e^{x+y}$ 在点 $(0,0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式，可以利用指数函数的泰勒展开直接得到。
首先，将 $f(x,y)$ 写作：
$$
f(x,y) = e^{x+y} = e^{x} e^{y}.
$$
在 $(0,0)$ 处展开，分别对 $e^x$ 和 $e^y$ 使用麦克劳林公式：
$$
e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + R_n(x), \quad e^y = \sum_{l=0}^{n} \frac{y^l}{l!} + R_n(y),
$$
但更直接的做法是考虑二元函数的泰勒展开公式：
$$
f(x,y) = \sum_{m=0}^{n} \frac{1}{m!} \left( x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} \right)^m f(0,0) + R_n.
$$
由于 $f(x,y) = e^{x+y}$，所有偏导数在 $(0,0)$ 处均为 1：
$$
\frac{\partial^{p+q} f}{\partial x^p \partial y^q}(0,0) = e^{0} = 1.
$$
因此，泰勒公式中 $m$ 次项为：
$$
\frac{1}{m!} \sum_{k=0}^{m} \binom{m}{k} x^{k} y^{m-k} \cdot 1 = \frac{1}{m!} (x+y)^m.
$$
于是，$n$ 阶泰勒公式（带拉格朗日余项）为：
$$
f(x,y) = \sum_{m=0}^{n} \frac{(x+y)^m}{m!} + R_n,
$$
其中余项
$$
R_n = \frac{1}{(n+1)!} \left( x\frac{\partial}{\partial x} + y\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(\theta x, \theta y), \quad 0<\theta<1.
$$
由于 $f$ 的各阶偏导数仍为 $e^{x+y}$，所以
$$
R_n = \frac{e^{\theta(x+y)}}{(n+1)!} (x+y)^{n+1}.
$$
因此，函数在 $(0,0)$ 处的 $n$ 阶泰勒公式为：
$$
\boxed{e^{x+y} = \sum_{m=0}^{n} \frac{(x+y)^m}{m!} + \frac{e^{\theta(x+y)}}{(n+1)!} (x+y)^{n+1}, \quad 0<\theta<1.}
$$
难度：★☆☆☆☆