同济高数 第1章 第1-1-1题
📝 题目
1．求下列函数的自然定义域：
（1）$y=\sqrt{3 x+2}$ ；
（2）$\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ；
（3）$\displaystyle y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$ ；
（4）$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$ ；
（5）$y=\sin \sqrt{x}$ ；
（6）$y=\tan (x+1)$ ；
（7）$y=\arcsin (x-3)$ ；
（8）$\displaystyle y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$ ；
（9）$y=\ln (x+1)$ ；
（10）$\displaystyle y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
（1） $y=\sqrt{3x+2}$
根号内非负：$3x+2 \ge 0$，解得 $\displaystyle x \ge -\frac{2}{3}$。
定义域：$\displaystyle \left[-\frac{2}{3}, +\infty\right)$。
（2） $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$
分母不为零：$1-x^2 \neq 0$，即 $x \neq \pm 1$。
定义域：$(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$。
（3） $\displaystyle y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^{2}}$
分母不为零：$x \neq 0$；
根号内非负：$1-x^2 \ge 0$，即 $-1 \le x \le 1$。
取交集：$[-1,0) \cup (0,1]$。
（4） $\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}$
分母不为零且根号内为正：$4-x^2 > 0$，即 $x^2 < 4$，解得 $-2 < x < 2$。
定义域：$(-2,2)$。
（5） $y=\sin \sqrt{x}$
根号内非负：$x \ge 0$。
定义域：$[0, +\infty)$。
（6） $y=\tan (x+1)$
正切函数要求 $\displaystyle x+1 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}$，
即 $\displaystyle x \neq \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi$。
定义域：$\displaystyle \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq \frac{\pi}{2} - 1 + k\pi,\ k \in \mathbb{Z}\}$。
（7） $y=\arcsin (x-3)$
反正弦定义域要求 $-1 \le x-3 \le 1$，
解得 $2 \le x \le 4$。
定义域：$[2,4]$。
（8） $\displaystyle y=\sqrt{3-x}+\arctan \frac{1}{x}$
根号内非负：$3-x \ge 0$，即 $x \le 3$；
反正切部分要求分母不为零：$x \neq 0$。
取交集：$(-\infty,0) \cup (0,3]$。
（9） $y=\ln (x+1)$
对数真数大于零：$x+1 > 0$，即 $x > -1$。
定义域：$(-1, +\infty)$。
（10） $\displaystyle y=\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$
指数部分分母不为零：$x \neq 0$。
定义域：$(-\infty,0) \cup (0, +\infty)$。