同济高数 第1章 第1-1-10题
📝 题目
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：
（1）$y=\cos (x-2)$ ；
（2）$y=\cos 4 x$ ；
（3）$y=1+\sin \pi x$ ；
（4）$y=x \cos x$ ；
（5）$y=\sin ^{2} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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（1） $ y = \cos (x-2) $
余弦函数 $\cos u$ 是周期函数，周期为 $2\pi$。
这里 $u = x-2$，只是水平平移，不影响周期。
所以该函数是周期函数，周期为 $2\pi$。
（2） $ y = \cos 4x $
余弦函数 $\cos u$ 周期为 $2\pi$，令 $u = 4x$，则
$$
\cos(4x) = \cos(4x + 2\pi) = \cos\left[4\left(x + \frac{\pi}{2}\right)\right]
$$
所以周期为 $\frac{\pi}{2}$。
（3） $ y = 1 + \sin \pi x $
正弦函数 $\sin u$ 周期为 $2\pi$，令 $u = \pi x$，则
$$
\sin(\pi x) = \sin(\pi x + 2\pi) = \sin\left[\pi(x + 2)\right]
$$
所以周期为 $2$。
（4） $ y = x \cos x $
假设存在周期 $T > 0$，则对任意 $x$ 应有
$$
(x+T)\cos(x+T) = x\cos x
$$
取 $x = 0$ 得 $T\cos T = 0$，故 $\cos T = 0$，即 $T = \frac{\pi}{2} + k\pi$。
再取 $x = T$，得
$$
2T\cos(2T) = T\cos T = 0
$$
若 $T \neq 0$，则 $\cos(2T) = 0$，但由 $\cos T = 0$ 得 $2T = \pi + 2k\pi$，此时 $\cos(2T) = -1 \neq 0$，矛盾。
所以不是周期函数。
（5） $ y = \sin^2 x $
利用公式
$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$
$\cos 2x$ 的周期为 $\pi$，所以该函数周期为 $\pi$。
总结：
（1）周期 $2\pi$；
（2）周期 $\frac{\pi}{2}$；
（3）周期 $2$；
（4）非周期函数；
（5）周期 $\pi$。