同济高数 第1章 第1-1-11题

[AI解答]

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（1） $y=\sqrt[3]{x+1}$
两边立方：$y^3 = x+1$，解得 $x = y^3 - 1$，交换 $x,y$ 得反函数
$$y = x^3 - 1$$

（2） $\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}$
两边乘以 $1+x$：$y(1+x)=1-x$
展开：$y + yx = 1 - x$
移项：$yx + x = 1 - y$
即 $x(y+1)=1-y$
解得 $\displaystyle x = \frac{1-y}{1+y}$，交换变量得
$$y = \frac{1-x}{1+x}$$
（与原来相同，说明是自反函数）

（3） $\displaystyle y=\frac{a x+b}{c x+d},\quad ad-bc \neq 0$
两边乘以 $cx+d$：$y(cx+d)=ax+b$
展开：$c y x + d y = a x + b$
移项：$c y x - a x = b - d y$
即 $x(cy - a) = b - d y$
解得 $\displaystyle x = \frac{b - d y}{c y - a}$，交换变量得
$$y = \frac{b - d x}{c x - a}$$

（4） $\displaystyle y=2\sin 3x,\quad -\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{6}$
先解出 $x$：$\displaystyle \sin 3x = \frac{y}{2}$，由定义域得 $\displaystyle 3x \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，所以
$\displaystyle 3x = \arcsin\frac{y}{2}$，即 $\displaystyle x = \frac{1}{3}\arcsin\frac{y}{2}$
值域：当 $x$ 在给定区间时，$y \in [-2,2]$，交换变量得
$$y = \frac{1}{3}\arcsin\frac{x}{2},\quad -2 \le x \le 2$$

（5） $y=1+\ln(x+2)$
移项：$\ln(x+2) = y-1$
指数化：$x+2 = e^{y-1}$
得 $x = e^{y-1} - 2$，交换变量得
$$y = e^{x-1} - 2$$

（6） $\displaystyle y=\frac{2^x}{2^x+1}$
两边乘以分母：$y(2^x+1)=2^x$
展开：$y2^x + y = 2^x$
移项：$y2^x - 2^x = -y$
即 $2^x(y-1) = -y$
所以 $\displaystyle 2^x = \frac{-y}{y-1} = \frac{y}{1-y}$
取以2为底的对数：$\displaystyle x = \log_2\frac{y}{1-y}$
交换变量得
$$y = \log_2\frac{x}{1-x},\quad 0