同济高数 第1章 第1-1-13题
📝 题目
13．设 $f(x)$ 的定义域 $D=[0,1]$ ，求下列各函数的定义域：
（1）$f\left(x^{2}\right)$ ；
（2）$f(\sin x)$ ；
（3）$f(x+a)(a\gt 0)$ ；
（4）$f(x+a)+f(x-a)(a\gt 0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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题目：设 $ f(x) $ 的定义域 $ D=[0,1] $，求下列各函数的定义域。
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（1）$ f(x^2) $
要使 $ f(x^2) $ 有意义，必须满足
$$
0 \le x^2 \le 1
$$
解不等式：
$$
x^2 \le 1 \quad\Rightarrow\quad -1 \le x \le 1
$$
同时 $ x^2 \ge 0 $ 恒成立。
所以定义域为
$$
\boxed{[-1,1]}
$$
---
（2）$ f(\sin x) $
要求
$$
0 \le \sin x \le 1
$$
正弦函数在 $[0, \pi]$ 上非负，且 $\sin x = 0$ 在 $x = k\pi$，$\sin x = 1$ 在 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。
满足 $ 0 \le \sin x \le 1 $ 的 $x$ 区间为
$$
[2k\pi,\ \pi + 2k\pi],\quad k \in \mathbb{Z}
$$
因此定义域为
$$
\boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k\pi,\ \pi+2k\pi]}
$$
---
（3）$ f(x+a) $，其中 $ a>0 $
要求
$$
0 \le x+a \le 1
$$
即
$$
-a \le x \le 1-a
$$
由于 $ a>0 $，下界 $-a < 0$，上界 $1-a$ 可能为正也可能为负，取决于 $a$ 的大小。
定义域为
$$
\boxed{[-a,\ 1-a]}
$$
---
（4）$ f(x+a) + f(x-a) $，其中 $ a>0 $
两个部分都要有意义，因此需同时满足：
$$
\begin{cases}
0 \le x+a \le 1 \$$2pt]
0 \le x-a \le 1
\end{cases}
$$
即
$$
\begin{cases}
-a \le x \le 1-a \$$2pt]
a \le x \le 1+a
\end{cases}
$$
取交集：
$$
\max(-a, a) \le x \le \min(1-a, 1+a)
$$
由于 $a>0$，$\max(-a, a) = a$，而 $\min(1-a, 1+a) = 1-a$（因为 $1-a \le 1+a$）。
因此要求
$$
a \le x \le 1-a
$$
要使此区间非空，还需 $a \le 1-a$，即 $a \le \frac12$。
若 $a > \frac12$，则定义域为空集。
所以定义域为
$$
\boxed{[a,\ 1-a],\quad \text{当 } 0 < a \le \frac12}
$$
若 $a > \frac12$，则定义域为 $\varnothing$。